第34讲直线与圆锥曲线的位置关系

第1页共11页第三十四讲—直线与圆锥曲线的位置关系一．课标要求：1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。二．命题走向近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。预测2010年高考：1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。三．要点精讲1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系2．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。第2页共11页直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，且由nkxyyxF0),(，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。则弦长公式为：d=221221)()(yyxx=2212))(1(xxk=22)1(akΔ=Δ||)1(2ak。焦点弦长：||PFed（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点F的准线的距离，e是离心率）。四．典例解析题型1：直线与椭圆的位置关系例1．已知椭圆：1922yx，过左焦点F作倾斜角为6的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。解析：a=3,b=1,c=22，则F（-22，0）。第3页共11页由题意知：)22(31:xyl与1922yx联立消去y得：01521242xx。设A（),11yx、B（),22yx，则21,xx是上面方程的二实根，由违达定理，2321xx，41521xx，223221xxxM又因为A、B、F都是直线l上的点，所以|AB|=21518324)(32||3112122121xxxxxx点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。例2．中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线23xy所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程。解析：设椭圆的标准方程为)0(12222babyax，由F1（0，50）得5022ba把直线方程23xy代入椭圆方程整理得：0)4(12)9(222222abxbxba。设弦的两个端点为),(),,(2211yxByxA，则由根与系数的关系得：22221912babxx，又AB的中点横坐标为21，2196222221babxx223ba，与方程5022ba联立可解出25,7522ba故所求椭圆的方程为：1257522yx。点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，50）知，c=50，5022ba，最后解关于a、b的方程组即可。第4页共11页例3．（06辽宁卷）直线2yk与曲线2222918kxykx(,)kR且k0的公共点的个数为（）(A)1(B)2(C)3(D)4解析：将2yk代入2222918kxykx得：22229418kxkkx。29||1840xx，显然该关于||x的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。例4．（2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F1（22，0）和F2（22，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。解析：设椭圆C的方程为12222byax，由题意a=3，c=22，于是b=1.∴椭圆C的方程为92x＋y2＝1．由19222yxxy得10x2＋36x＋27＝0，因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝518，故线段AB的中点坐标为（51,59）．点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。题型2：直线与双曲线的位置关系例5．（1）过点(7,5)P与双曲线221725xy有且只有一个公共点的直线有几条，分别第5页共11页求出它们的方程。（2）直线1kxy与双曲线1322yx相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解析：（1）解：若直线的斜率不存在时，则7x，此时仅有一个交点(7,0)，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(7)ykx则57ykxk，22(57)1725xkxk，∴22257(57)725xkxk，222(257)72(57)(57)7250kxkxkk，当577k时，方程无解，不满足条件；当577k时，2571075x方程有一解，满足条件；当2257k时，令222[14(57)]4(257)[(57)165]0kkkk，化简得：k无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条7x和57107yx。（2）把1kxy代入1322yx整理得：022)3(22axxa……（1）当3a时，2424a。由0得66a且3a时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若A、B在双曲线的同一支，须32221axx0，所以3a或3a。故当36a或63a时，A、B两点在同一支上；当33a时，A、B两点在双曲线的两支上。点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。例5．（1）求直线1yx被双曲线2214yx截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214yx截得的弦中点轨迹方程。第6页共11页解析：由22141yxyx得224(1)40xx得23250xx（*）设方程（*）的解为12,xx，则有121225,33xxxx得，212121242082||2()422933dxxxxxx（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1ykx，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为(,)Pxy，由22114ykxyx得22(4)250kxkx（*）设方程（*）的解为12,xx，则22420(4)0kk，∴21680,||5kk，且12122225,44kxxxxkk，∴121212221114(),()()124224kxxxyyyxxkk，22444kxkyk得2240(4xyyy或0)y。方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)AxyBxy，弦中点为(,)Pxy，则221122224444xyxy得：121212124()()()()xxxxyyyy，∴121212124()yyxxxxyy，即41yxxy，即2240xyy（图象的一部分）点评：（1）弦长公式2121221||1||1||ABkxxyyk；（2）有关中点弦问题的两种处理方法。例7．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。第7页共11页解析：设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，(,0)Fc，渐近线byxa，则过F的直线方程为()ayxcb，则2222220()bxayabayxcb，代入得44244224()20baxacxacab，∴1200xx即得44ba，∴ba，即得到2e。点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范围往往与判别式的取值建立联系。题型3：直线与抛物线的位置关系例8．已知抛物线方程为)0)(1(22pxpy，直线myxl:过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。解析：设l与抛物线交于1122(,),(,),||3.AxyBxyAB则由距离公式|AB|=221221)()(yyxx=21212122191||2||,().2yyyyyyk则有由.02,).1(2,21222ppyyxxpypyx得消去.,2.04)2(2212122pyypyypp从而.294)2(,4)()(2221221221ppyyyyyy即由于p0，解得.43p点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。例9．2003上海春，4）直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____.答案：（3，2）解法一：设直线y=x－1与抛物线y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中点为P（x0，y0）。由题意得xyxy412，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0。∴x0=221xx=3.y0=x0－1=2.∴P（3，2）。解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1，第8页共11页121212))((xxyyyy=4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。故中点为P（3，2）。点评：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法。例10．（1997上海）抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为22，求此直线的方程；（理）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于22，求p的值的范围.解：（1）抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=－1－4p，直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得m＞－1－4p，即4m+p+4＞0.由myxxpy)1(2得x2－（2m+p）x+（m2－p）=0.而判别式Δ=（2m+p）2－4（m2－p）=p（4m+p+4）.又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0.因此，直线与抛物线总有两个交点；（2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2－（2m+p）x+m2－p=0的两根，∴x1+x2=2m+p，x1·x2=m2－p.由OQ⊥OR，得kOQ·kOR=－1，即有x1x2+y1y2=0.又Q、R为直线x+y=m上的点，因而y1=－x1+m，y2=－x2+m.于是x1x2+y1y2=2x1x2－m（x1+x2）+m2=2（m2－