《固体物理学》概念和习题-答案

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。答：最小平行单元。2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。4.请描述七大晶系的基本对称性。5.请给出密勒指数的定义。6.典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。7.给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。8.请给出晶体衍射的布喇格定律。9.给出布里渊区的定义。10.晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？11.写出晶体衍射的结构因子。12.请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。13.写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。14.请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。15.请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）16.给出声子的定义。17.请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。18.在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。19.简述晶体热膨胀的原因。20.请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。固体物理学黄昆21.分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？22.请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。23.写出金属的电导率公式。24.给出魏德曼-夫兰兹定律。25.简述能隙的起因。26.请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。27.请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。28.给出空穴概念。29.请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。30.描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。31.解释直接能隙和间接能隙晶体。32.请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。33.请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。34.给出半导体的电导率。35.说明半导体的霍尔效应与那些量有关。36.请解释德哈斯-范阿尔芬效应。37.什么叫费米液体？38.请给出纯金属的电导率随温度的关系。39.请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。40.请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。41.请列出铁磁性固体的主要特征。42.请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。43.什么是格波和声子？晶体中声子有多少种可能的量子态？44.请说明Debye热容量模型的基本假设，为什么说Debye热容量模型在低温下是正确的？45.什么是近自由电子近似和紧束缚近似？46.请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点？47.什么是n型半导体和p型半导体？什么是本征半导体？48.试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。《固体物理学》习题注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢q的定义（q=1/λ）与课堂上所用的波矢k相差2π（k=2π/λ）；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与国际单位制之间的转换1.在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子？2.在六角晶系中常用4个指数（h,k,i,l）来表示，如图，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1,a2,a3上的截距为：a1/h,a2/k,a3/i，第4个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l,证明：i=-(h+k),并将下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(̅33)(1̅0)(3̅3)(100)(010)(̅̅̅̅3)。答：根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i＝-(h+k)。（0001），（1323），（1100），（3213），（1010），（0110），（2133）。3.证明理想六角密堆积结构的c/a比是√=1.633，如果c/a值比这个值大得多，可以把晶体视为由原子密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。4.在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪个晶面的原子面密度最大？答：单晶硅中，晶面上的原子密度是(111)(110)(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度（111）(100)(110)。5.如图的两种正六边形（边长为a）平面格子是布喇菲格子还是复式格子？应如何选取其基矢和原胞？6.六角空间点阵，六角空间点阵的基矢可以取为：⃗√̂̂；⃗⃗√̂̂；⃗̂；（1）证明：原胞的体积是√；（2）证明：倒易点阵的基矢是：⃗√̂̂，⃗⃗√̂̂，⃗̂；因此直接点阵就是它本身的点阵，但轴经过了转动；（3）描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区。7.证明第一布里渊区的体积是()此处Vc是晶体初基晶胞的体积。8.金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个原子组成；（1）给出这个基元的结构因子；（2）求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足h+k+l=4n，且所有指数都是偶数，n是任何整数；否则所有指数都是奇数。∗体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。[如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件]9.如果a表示晶格常数，θ表示入射光束与衍射光束之间的交角，证明对于简单立方晶格，()式中（hkl）为密勒指数，𝜆为入射光波长。10.画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在（100），（110），（111）面上的原子排列。11.若一晶体的总互作用能可表示为：()()，试求：（1）平衡间距r0；（2）结合能W；（3）体弹性模量；（4）若m=2,n=10,r0=3Å,W=4eV,求α、β的值。12.(黄昆教材2.6)用雷纳德-琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比。13.(黄昆教材2.7)对于H2，从气体的测量得到雷纳德-琼斯势中的参数为：ε=50×10-23J，σ=2.96Å，计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的结合能。(A12=12.13,A6=14.45)14.(固体物理习题集1.15和黄昆教材1.11)证明六角晶体的介电常数张量为()15.(固体物理习题集2.1)设两原子间的互作用能可表示为：()式中，第一项为引力能；第二项为排斥能；α、β均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须nm。16.(固体物理习题集2.2)设两原子间的互作用能可由：()表述。若m=2,n=10，而且两原子构成稳定的分子，其核间距离为：3×10-10m，离解能为4eV,试计算：（1）α和β；（2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距；（3）使原子间距比平衡距离减少10%时所需要的压力。17.(固体物理习题集2.11)有一晶体，平均每对离子的互作用能为：()𝜆式中，R是最RR近邻离子间距；α是马德隆常数；λ、An为常数。若n=10,α=7.5,平衡时最近邻距离R0=2.81×10-10m。求由2N=2×1022个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用能。18.(固体物理习题集2.21)设LiF晶体(NaCl结构)的总互作用能可写成：(𝜆)，式中，N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距；α是马德隆常数；λ、ρ为参量。求平衡时最近邻间距R0、总结合能U0和体积弹性模量B的表达式。19.(固体物理习题集2.32)设NaCl晶体的互作用能可表示为：()()式中的N、R、ρ、A分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径和排斥能参数。实验测定，NaCl晶体近邻离子的平衡间距R0=2.82×10-10m，体积弹性模量K=2.4×1011dyn/cm2，已知NaCl结构的马德隆常数α=1.7476，试求NaCl晶体的排斥核半径ρ和排斥能参数A。20.2N个正负离子组成一个一维链晶体。平衡时两个最近邻正负离子间距为R0。试证：(1)该晶体的马德隆常数为μ＝2ln2。(2)自然平衡状态下的结合能为()()。-q+q21.(固体物理习题集3.5)已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为：()()式中ωm是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等N。22.(固体物理习题集3.8)设有一维原子链（如图），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β'（β'β）。设两种原子的质量相等，最近邻原子间距均为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=±1/4a时的振动频率。s23.(固体物理习题集3.14)设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错地等于β和10β。若两种原子的质量相等，并且最近邻间距为a/2，试求在波矢k=0和k=π/a处的ω(k)，并画出其色散关系曲线。24.(固体物理习题集3.21)考虑一个由相同原子组成的二维正方格子的横振动。设原子质量为M，点阵常数为a，最近邻原子间的恢复力常数为β，试求：（1）格波的色散关系；（2）长波极限下格波的传播速度。25.边长为L的正方形二维晶体，含N个原胞，试求：（1）该点阵振动的模式密度D(ω)；（2）德拜截止频率νD和德拜温度θD；（3）点阵振动内能表达式和低温下比热表达式。（其中∫）26.(固体物理习题集3.30)已知一个频率为ωi的谐振动在温度T下的平均能量̅试用爱因斯坦模型求出由N个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。27.(固体物理习题集3.53)设一维原子链中，两原子的互作用能由下式表示()[()()]式中x为相邻原子间距。求原子链的线胀系数α。28.(固体物理习题集3.56)设某离子晶体中离子间的互作用能()式中，B为待定常数；r为近邻离子间距。求该离子晶体的线胀系数。已知近邻离子的平衡间距为3×10-10m。29.具有简立方结构的晶体，原子间距为2Å，由于晶体中非谐作用的存在，一但个沿[1,1,0]方向传播的波矢为1.3×1010m-1的声子同另一个波矢大小相等，沿[1,-1,0]方向传播的声子相互作用，合并成第三个声子，试求新形成的第三个声子的波矢。30.(固体物理习题集5.10)已知金属铯的EF=1.55eV，求每立方厘米的铯晶体中所含的平均电子数。31.(固体物理习题集3.14)证明：在T=0K时，费米能级E0F处的能态密度为()式中N为金属中的自由电子总数。32.(固体物理习题集5.16)证明：低温下金属中电子气的费米能[()]其中()为绝对零度的费米能，n为电子浓度。33.(固体物理习题集5.22)证明，在T=0K时，金属中自由电子气的压强和体积弹性模量分别为：,式中EF0为T=0K时的费米能；V、N分别代表金属的体积和自由电子总数。已知锂（体心立方结构）的晶格常数a=3.5×10-10m，费米能EF0=7.6×10-19J，试估计锂中自由电子对体积弹性模量的贡献。34.(固体物理习题集5.25)证明：（1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度式中，kF为费米球半径，V为金属体积。（2）金属中电子的平均能量35.(固体物理习题集5.12)铜的费米能级EF=7.1eV，试计算每单位体积铜的平均电子数，并与从密度计算得到的电子浓度相比较。已知铜的密度等于8.96g/cm3。代入数据得：n=8.5322cm1036.(固体物理习题集问答6.5)一维晶格能量E和波矢k的关系如图所示。设电子能谱与自由电子相同，试写出与简约波矢k=π/2a对应的点A（第一能带）、B（第二能带）和C（第三能带）处的能量。37.(固体物理习题集问答6.7)对简单立方、体心立方和面心立方晶格，由紧束缚近似导出的能带底部电子的有效质量均可表示为能否据此断言：具有这三种结构的晶体，在能带底部的电子具有同样大小的有效质量？38.(固体物理习题集6.1