第一章行列式

备课教案第一章行列式1第一章行列式§1.1行列式的概念与性质一．二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如1112112212212122aaaaaaaa（1.1）111213212223112233122331132132313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa322311332112312213aaaaaaaaa（1.2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。如32a表示该元素位于第3行、第2列。二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。【例】5152(1)31332；2222()abababba；2501334162361(1)0(5)(3)4034(1)(3)21(5)6(36)(0)(60)(0)(6)(30)120。二．n阶行列式的全面展开用2n个元素可以构成n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211。行列式有时简记为jia。一阶行列式a就是a。高于4阶的行列式不能用对角线法展开。参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1）、（1.2），规定n阶行列式的全面展开按如下方式进行：（1）展开式的每一项都是不同行、不同列的n个元素的乘积。（2）取自不同行、不同列的n个元素要出现所有不同的搭配。若将行标顺序安排，则每一项对应列标的一个排列。如332112aaa对应的排列是213。所有不同的搭配，对应所有不同的列标排列，n个自然数共有!n种排列，因而全面展开式共有!n项。（3）各项的前置符号，偶排列取正，奇排列取负。所谓偶（奇）排列是指该排列的逆序数为偶（奇）数。比如排列4312中，4后面有比它小的3、1、2（算作3个逆序），3后面有1、2，合计共有5个逆序，是奇排列。全面展开式的!n备课教案第一章行列式2项中有半数的前置符号为正，另一半为负。通过全面展开来计算行列式显然是很复杂的，应该考虑简便的方法。三．行列式的性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为TD。即Dnnnnnnaaaaaaaaa212222111211，TDnnnnnnaaaaaaaaa212221212111实际书写时，“横着看，竖着写”，便可得到转置行列式。性质1行列式转置后，其值不变，即DDT。【例】543692781567498321证在行列式D中，每一行取一个元素，这n个元素位于不同的列，它们的乘积添上前置符号构成了D的展开式中的一项。该项中的元素也可以理解为取自不同的列，并位于不同的行，而这正是TD的展开式中的一项。可见D和TD的展开式中各项都对应相同，因此它们相等。这条性质告诉我们，行列式的行具有某一性质，它们的列也具有相同的性质。性质２交换行列式的两行（列），行列式的值变号。【例】498567321567498321证交换行列式的两行，相当于在展开式每一项所对应的列标排列中，交换了两个数字的位置。这两个数字之间的逆序发生了变化，而这两个数字和其它数字之间的逆序变化是成对发生的，因此整个排列的逆序数变化量为奇数，从而排列的奇偶性发生改变。即行列式展开式中的每一项都改变了符号，于是行列式的值变号。性质3行列式的某一行（列）元素有公因子，可以提到行列式的外面。【例】567498321567498321kkkk证行列式的某一行有公因子k时，因为行列式展开式的每一项中都出现了该行的一个元素，所以每一项都有了公因子k，当然可以提取出来。这条性质也可以反向运用：行列式乘数k，等于把k乘到行列式的某一行（列）上去。推论以下三种行列式的值为零。（1）行列式有某一行（列）的元素全为零。（2）行列式有两行（列）完全相同。（3）行列式有两行（列）的元素成比例。备课教案第一章行列式3证其中第一种行列式有公因子0；第二种行列式交换两行（列）后，其值不变，同时又改变符号，即DD，故0D；第三种行列式提取公因子后，即第二种行列式。性质4一个行列式可以拆分成两个行列式的和，这两个行列式的某对应行（列）上相同位置的元素之和，正好等于原行列式的对应位置的元素，而其它行（列）的元素都与原行列式相同。【例】4321432143214321ccccbbbbaaaa4321432143213102ccccbbbbaaaa4321432143211421ccccbbbbaaaa证因为在行列式展开式的各项中，可以把来自于某行（列）的元素拆分成两数之和，再利用分配律将每一项都拆成两项之和，由此组合成两个行列式，而且行列式中除被拆分的元素外，其它元素都未变。这条性质给出了行列式的拆分规则。若反向运用，则成了行列式的合并规则。拆分与合并规则特别强调：除某一对应行（列）外，其余元素都相同。性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。证做了这种变换后的行列式可以拆分成两个行列式，一个是原行列式，另一个是推论中的第三种行列式（其值为零）。比如在一个三阶行列式中将第1列乘数k后加到第3列，所得行列式可拆分为：111111111122222222223333333333abckaabcabkaabckaabcabkaabckaabcabka§1.2行列式的降阶算法一、代数余子式在n阶行列式中，把元素jia所在的第i行和第j列划去后，余下的)1(n阶行列式叫做元素jia的余子式，记为jiM。再记jijijiMA)1(（1.3）jiA叫做jia的代数余子式。二．特殊行列式的计算公式若行列式第一行元素除11a外均为零，则有如下计算式nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD22221121222211100证：等式右端的)1(n阶行列式是11a的余子式11M。在行列式D中，每行选取一个元素（不同列）做乘积，构成展开式的各项。可以只考虑不等于零的项，备课教案第一章行列式4显然第一行只能取11a，于是各项有了公因子11a。选取第2至第n行的元素，和全面展开11M的选取方式完全相同；另一方面11a与其它元素不构成逆序，因此D的展开项与11M的展开项前置符号也相同。提取公因子11a后，即得1111MaD。若行列式的第一列除11a外均为零，则有同样的计算式。现在考虑一般的降阶条件。如果在行列式D中，非零元素jia所在的行（第i行）或列（第j列）的其他元素均为零，那么可以将第i行依次与第)1(i，…，2，1行交换，然后再将第j列依次与第)1(j，…，2，1列交换，共经过)2(ji次换行与换列，把jia换到左上角的位置，其所在的行与列也换到了第一行和第一列，而其它行、列的排列顺序没有改变。根据前面的公式可知，最后的行列式的值变成了jijiMa。由于行列式的值变了)2(ji次符号，所以jijijijijiAaMaD2)1(（1.4）定理1.1如果行列式的某行（或某列）中，仅有一个元素非零，那么行列式的值等于该非零元素与它的代数余子式的乘积。定理1.1是行列式降阶算法的基础。比如下面的行列式经逐次降阶，很容易得到它的值nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa332211321333231222111000000我们称这种行列式为下三角行列式。类似地，上三角行列式也有同样的计算公式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa332211333223221131211000000更特殊的对角行列式的值为nnnnaaaaaaaa332211332211000000000000我们把行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线。三角行列式中，主对角线一侧的元素全为零；对角行列式中，主对角线两侧的元素全为零。推论三角行列式及对角行列式的值等于其主对角线上所有元素的乘积。备课教案第一章行列式5三．行列式的降阶算法对于一般的行列式，可以利用行列式的性质5把某些元素变为零，来达到降阶条件。具体做法是：在行列式中选定一个非零元素，称之为主元，将主元所在的行乘以适当的数加到其他行上，由此把主元所在列的其他元素都变为零。例1.1计算行列式215335151139727810D解选124a为主元，为将第4列的元素2,3,2变为零，进行行变换：第2行乘2加到第1行；第2行乘3加到第3行；第2行乘2加到第4行。得到251317342626332624)1(10251317034262611397033262442D降阶后的行列式可继续降阶：取26为主元，将第2行分别乘2626和2613加到第1、第3行，得到3128412)1(2680434262610222D从本例看出，要注重主元的选取，适当地选择主元可以简化计算。行列式的降阶运算也可以做列变换，即通过列变换把主元所在行的其它元素都变为零。阶数较高的行列式计算常常借助于计算机。计算机不怕烦琐的计算，但无法“灵活”地选择主元，所以计算机一般是先把行列式变为三角行列式，即从第一列开始，通过行变换依次将各列主对角线下方的元素变为零。例1.2将例1.1的行列式D化为上三角行列式，并计算其值。解108727913151533512D1087203.48.12.4058.5207.43.11.41087203.48.12.4003.4121.5290014.5293.8241087203.48.12.4311.7003.4121.5290002.687备课教案第一章行列式6数值计算有误差是难免的。为了减少误差，可以选取绝对值较大的数作为主元，同时通过换行把主元换到主对角线上的位置。这种做法还有一个好处是可适应主对角线上元素出现零的情况。§1.3克莱姆法则一．行列式的按行（列）展开按照行列式的拆分规则，一个三阶行列式可作如下拆分：333231232221131211aaaaaaaaaD3332312322211100aaaaaaa3332312322211200aaaaaaa3332312322211300aaaaaaa再根据定理1.1，得到131312121111AaAaAaD这叫做行列式按第1行展开。因为拆分可针对不同的行、列进行，所以行列式也可按其他行展开，还可以按各列展开，而且这种展开能直接推广到更高阶的行列式。一般地，对于n阶行列式D，有如下展开式。niniiiiiAaAaAaD2211（i=1，2，…，n）jnjnjjjjAaAaAaD2211（j=1，2，…，n）这两个公式分别称为行列式的按行展开式与按列展开式。展开式右端是某行（列）元素与它们的代数余子式乘积之和。以后，我们把这种两两相乘再相加的运算叫做“组合”，组合运算是线性代数中常见的运算。行列式的按行或按列展开，起到了降阶的效果，可以用来计算行列式的值。比如例1.1的行列式，按第3行展开为215335151139727810D2151139278)5(21311372710)1(25319728105153139778103不过用这种方法要计算n个)1(n阶行列式，如果连环地不断展开，计算量与全面展开不相上下，是非常庞大的。备课教案第一章行列式7二．代数余子式组合定理在三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD中，改写第1行，使之与第2行相同，将这个值为零的行列式按第1行展开，注意到代数余子式未变，有1323122211213332312322212322210AaAaAaaaaaaaaaa一般地，在n阶行列式D中，把第i行改写为第k行)(jk，再按第i行展开，可得02211