第一章解三角形

1第一章解三角形一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1在△ABC中，(1)已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C、c；(2)已知sinA∶sinB∶sinC＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．►变式训练1(1)△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠C＝30°，求△ABC的面积；(2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．二、正、余弦定理在三角形中的应用例2在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长．已知b2＝ac且a2－c2＝ac－bc.(1)求∠A的大；(2)求bsinBc的值．►变式训练2在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2B＋C2－cos2A＝72.(1)求∠A的度数；(2)若a＝3，b＋c＝3，求b、c的值．三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3A、B、C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sinθ的值．课时作业一、选择题1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对2．在△ABC中，已知cosAcosBsinAsinB，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．(2008·福建)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π34．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为()A．25B．51C．493D．495．(2010·广东东莞模拟)△ABC中，下列结论：①a2b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；③a2＋b2c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4二、填空题6．三角形两条边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________．7．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则asinA＝______.28．一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________．三、解答题9．(2009·广东广州一模)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝35.(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．10．在△ABC中，已知AB＝463，cosB＝66，AC上的中线BD＝5，求sinA的值．第二章数列一、等差数列与等比数列的基本运算例1已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn＝21na，n＝1,2,3，….(1)证明：{bn}为等比数列；(2)如果数列{bn}的前3项的和等于724，求数列{an}的通项公式an及数列{bn}的前n项和Tn.►变式训练1等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.二、数列的通项公式和前n项和例2在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝an2n－1.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和．►变式训练2已知数列{an}的首项a1＝23，an＋1＝2anan＋1，n＝1,2，….(1)证明：数列1an－1是等比数列；(2)求数列nan的前n项和Sn.三、等差数列与等比数列的综合运用例3已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1n(an＋3)(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Snt36总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．►变式训练3设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t(t0，n＝2,3,4，…)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f1bn－1(n＝2,3,4，…)．求数列{bn}的通项bn；(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1.课时作业一、选择题1．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3，则a4＋a5＋…＋a10等于()A．171B．21C．10D．1612．(2010·东北三省四市联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10等于()A．1024B．1023C．2048D．20473．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为()3A．4B．6C．8D．104．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝lnan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于()A．126B．130C．132D．134二、填空题5．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．6．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是________．7．等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则a13＋a14＋a15＝______.三、解答题8．设数列{an}的前n项和为Sn，点n，Snn(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tnm20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.9．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且2an＋1＝an＋2＋an(n∈N*)．数列{bn}的前n项和为Sn，其中b1＝－32，bn＋1＝－23Sn(n∈N*)．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn的表达式．第三章不等式一、一元二次不等式的解集例1已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.►变式训练1解关于x的不等式56x2＋ax－a20.二、利用基本不等式求最值例2(1)设0x2，求函数y＝3x(8－3x)的最大值；(2)求3a－4＋a(a4)的取值范围；(3)已知x0，y0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．►变式训练2(1)求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)的最小值；(2)已知：x0，y0且3x＋4y＝12.求lgx＋lgy的最大值及相应的x，y值．三、简单的线性规划例3已知x、y满足约束条件x≥1x－3y≤－43x＋5y≤30.(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；►变式训练3实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)(a1)2+(b2)2的值域．课时作业一、选择题1．若a0，b－1，则下列不等式成立的是()A．aabab2B.ab2abaC.abab2aD.abaab22．不等式组x－1a2x－42a有解，则实数a的取值范围是()A．(－1,3)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)43．(2008·山东)不等式x＋5(x－1)2≥2的解集是()A.－3，12B.－12，3C.12，1∪(1,3]D.－12，1∪(1,3]4，向量0,1,DA1,1OBD为坐标原点，动点P（x,y）满足条件01,01,OPOAOPOB，则点P的变化范围用阴影表示为()5．(2009·山东)设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()A.256B.83C.113D．4二、填空题6．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．7．(2009·广东茂名一模)已知实数x，y满足不等式组x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，若目标函数z＝y－ax(a∈R)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是__________．8．(2010·吉林长春第一次调研)若正数a、b满足1a＋4b＝2，则a＋b的最小值为________．三、解答题9．若不等式(1－a)x2－4x＋60的解集是{x|－3x1}．(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.10．某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．