第一章计量经济学的数理统计学基础

计量经济学的数理统计学基础一、随机变量的概率分布1．随机变量随机变量是指取值具有随机性的变量。随机变量有两种：离散随机变量和连续随机变量。2．离散随机变量的概率分布（1）概率函数通常用一个二维表格直观描述离散随机变量X的概率分布：其中11niip，10ip（2）分布函数累计分布概率：xxiipxXPxF}{)(X1x2x…nxP1p2p…np3．连续随机变量的概率分布（1）概率函数用概率密度函数)(xf描述，它满足以下性质：xxf,0)(；1)(dxxf；badxxfbXaP)()(（2）分布函数累计分布函数xdxxfxXPxF)(}{)(；另有：)()()()(bxaPaFbFdxxfba二、随机变量的数字特征（分布参数）1．数学期望数学期望记为EX或X对于离散变量，niiixpEX1；对于连续变量，xdxxfEX)(性质：互相独立和XX)()()()()(2121212121EXEXXXEEXEXXXEXECXCECCE2．方差方差记为DX或2X222)()()(EXXEEXXEDX性质：0)(CD；.DXCCXD2)(互相独立和212121)(XXDXDXXXD3．标准差（均方差）标准差DXX4．矩矩)(nXE称为变量X的n阶矩，1n时就是X的期望。5．协方差协方差用于度量两个变量的线性相关程度，记为xy或),cov(YX；)])([(),cov(EYYEXXEYX)()()(YEXEXYE.0xy意味着两个变量同方向变动，称之为正相关；0xy称之为负相关；0xy称之为不相关。相关系数yxxy；1||.如果YX,独立，那么0,0xy，三、样本统计量1．总体和样本所谓总体就是一个随机变量X，X的分布函数通常记为);(xF，其中就是待估计的参数。在进行n次重复独立实验后，得到总体X的n个观察值nxxx,...,,21，而在实验之前，nxxx,...,,21实际上是相互独立均与总体X同分布的n个随机变量nXXX,...,,21。称nXXX,...,,21为总体X的容量为n的简单随机样本，简称样本；称nxxx,...,,21为样本的一个观察值，简称样本值。2．常见的样本统计量统计量的概念设nXXX,...,,21是来自总体X的一个样本，若随机变量nXXX,...,,21的函数),...,,(21nXXXg中不含有任何未知参数，则称),...,,(21nXXXg为一个统计量。注意：统计量本身是一个随机变量；其值可由样本值计算出来。最常见的统计量有：样本均值niiXnX11；样本方差212)(11niiXXnS；样本标准差21)(11niiXXnS；样本k阶原点矩nikikXnM11；样本k阶中心矩kniikXXnM)(11'。假设),(iiYX，ni,...,1，是某个X和Y联合分布的样本，那么样本协方差))((111YYXXnSiniiXY样本相关系数YXXYXYSSS四、抽样分布1．几个常用分布正态分布定义：如果随机变量X的密度函数为])(21exp[21)(22xxf则称X服从参数为μ、σ的正态分布，通常记为X(,2)。令/)(xz，那么z服从标准正态分布(0,1)，]21exp[21)(2zzf卡方分布假设n维向量XN(0,nI)，那么)(~)...(222221'nXXXXXn；t-分布假设两个独立的随机变量ZN(0,1)，Y)(2n，那么)(~ntnYZF-分布假设1Y)(~12n和2Y)(~22n是两个独立的卡方分布，那么),(~//212211nnFnYnY2．样本均值的分布总体X(,2)样本nXXX,...,,21(,2)则：X(,2/n)3．样本方差的分布22)1(Sn)1(2n4．样本均方差的分布nSX)1(nt四、区间估计临界值的概念设X的分布函数为F，x满足1(){},01FxPXx，则称x为F的临界值。对称分布~(0,1)UN的临界值非对称分布22~(1)n的临界值区间估计对于参数，如果有两个统计量),,,(ˆˆ2111nXXX,),,,(ˆˆ2122nXXX，满足对给定的)1,0(，有1}ˆˆ{21P则称区间[1ˆ，2ˆ]是的一个区间估计或置信区间，1ˆ、2ˆ分别称作置信下限、置信上限，1称为置信水平。置信水平为1-，在实际上可以这样理解:如取%951，就是说若对某一参数取100个容量为n的样本，用相同方法做100个置信区间。[)(1ˆk，)(2ˆk]，k=1,2,…,100,那么其中有95个区间包含了真参数．因此,当实际上只做一次区间估计时，我们有理由认为它包含了真参数。这样判断当然也可能犯错误，但犯错误的概率只有5%。寻找置信区间的通常方法是从已知抽样分布的统计量，如上文提到的U，X和T入手，由于分布和概率已知，只要确定临界值就可以了。单个正态总体参数的区间估计设nXXX,,,21为),(2N的样本，对给定的置信水平1，10，求参数和方差2的区间估计。情况1（2已知）由于)1,0(~/NnXU，所以容易找到临界值2/U，使得1}/{2/2/UnXUP，那么的区间估计是：],[2/2/nUXnUX。情况2（2未知）情况3（2的区间估计）五、假设检验假设检验的基本思想在数理统计中，假设检验是这样一个过程：对未知总体，先作出某种假设，然后利用样本提供的信息，对这一假设的合理性进行检验，从而确定接受或拒绝这一假设。在进行假设检验时，有两点值得注意：①反证法思想。②“小概率事件”在一次实验中不会发生。假设检验的步骤第一步，建立假设00:H；01:H这里0H称为原假设，1H称为备择假设。注意：在假设检验中，原假设0H与备选假设1H的地位是不对等的。一般来说是较小的，因而检验推断是“偏向”原假设，而“歧视”备选假设的。既然0H是受保护的，则对于0H的肯定相对来说是较缺乏说服力的，充其量不过是原假设与试验结果没有明显矛盾；反之，对于0H的否定则是有力的，且越小，小概率事件越难于发生，一旦发生了，这种否定就越有力，也就越能说明问题。在应用中，如果要用假设检验说明某个结论成立，那么最好设0H为该结论不成立。第二步，构造统计量，求出统计量的样本分布以及由样本观察值算出其具体值。统计量nSXt)1(~nt在0H成立的条件下，对应的具体值记为tˆ。第三步，根据备择假设构造出对0H不利的小概率事件——在给定显著性水平下，确定临界值，构造出拒绝域。在一个问题中，通常指定一个正数（01），认为概率不超过的事件是在一次试验中几乎不会发生的事件，称为显著性水平。=0.05，算出临界值(1)tn。{(1)}Vttn，这里V是拒绝域，它是使得这一小概率事件发生的样本空间的点的全体。第四步，得出结论方法1：根据计算出来的t值，看样本是否落在V内，若落在V内，则拒绝0H，否则,不能拒绝0H。如果tˆ)1(nt，则称能以的显著性水平拒绝零假设；否则，不能拒绝零假设；方法2：比较p值和。p值定义为拒绝零假设的最大的显著性水平；}ˆ{ttP，也就是在t-分布中大于统计量tˆ的概率。比较p值和预先设定的显著性水平。如果p值，则称能以的显著性水平拒绝零假设；否则，不能拒绝零假设。