第一章鞅第二节鞅的基本概念和性质

-1-第二节鞅的基本概念和性质定义1-2-1设),,(PF为概率空间，},{Ttxt为概率空间上的一族随机变量，则称},{Ttxt为概率空间),,(PF上的随机过程。注1-2-1由随机过程的定义知，对固定的Tt，tx为),,(PF上的随机变量，对固定的，)(tx为t的函数。以后设,2,1,0T或}{,0T。定义1-2-2设TtxXt,为概率空间P,,F上的随机过程，如果（a）X是TttF是适应的（b）TtxEt,（c）对..,,,,eaxxxETtstssst则称},{TtxXt为Ttt}{F的鞅。如果有（'c）对..,,,,eaxxxETtstssst则称},{TtxXt为Ttt}{F的上鞅。如果有（''c）对..,,,,eaxxxETtstssst则称},{TtxXt为Ttt}{F的下鞅。注1-2-2如果X是上鞅，则X为下鞅。如果X既是上鞅又是下鞅，则X为鞅。注1-2-3由定义1-2-2的条件c可知，如果X是鞅，则对Tts,,都有tsxExE。事实上，取tst0，则ttst00,，0000,ttsttsxxExxEFF于是00][][ttssxExEExEF-2-][][0tttxEExEF所以tsxExE。如果X是下鞅，Ttsts,,，都有stxExE事实上，取ttst00,，则00][][ttttxExEExEFssttxExEExE][][00F所以0ttxExEsxE。同样地，X是上鞅，Ttsts,,，都有stxExE（习题1-2-1）例1设}0,{{nyn为相互独立的随机变量，且nyE，.0,0nEynkg是k维的Borel可测函数，令1),,...,,(110nyyygbnnn并假设nbE，1n。定义随机变量的序列010(,xybxxnkkkn为常数）1),,...,,(10nyyynnF则}1,,{nxnnF是鞅。事实上，nkkknybxx10nkkknybExExE10][][-3-又111nnnnybxxnnnnnnnybExExEFFF111nxnnnybEF11因为nnnnyyygbB),...,,(101所以1nb是nF可测的，故nnnybEF11nnnyEbF11又因为1ny和ny是独立的，)(1ny与),...,,(10nnyyyF也独立，故011nnnyEyEFnnnxxEF1由此知}1,,{nxnnF是鞅。这个例子的直观意思为，设赌徒每局赢的概率为21，事件}1{ny表示第n局赢，}1{ny表示第n局输，所以2111nnyPyP0nyE假定0,nyn是独立的，而赌者在第n局的策略ng依赖于以前n-1局的战绩，即赌注nb是0121,,,...,yyyyn的函数，我们记之为110,...,,nnyyygb则第n局的盈亏为nkkknybxx10这里设初始赌注为00x，于是我们可知01nnxxE即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上-4-11nnnnxExExxE11nnnxExEEF011nnXExE例2Doob的鞅过程设0,nyn是随机变量序列，X是随机变量，XE.令),...,,(10nnyyyF，nnXExF则1,,nxnnF是鞅。它被称为Doob的鞅过程。事实上，nnnXEEXEExEFF=XE又nnnnXEExEFFF11nnxXEF定理1-2-1设Ttxtt,,F，Ttytt,,F是鞅（或下鞅），则（1）Ttyxttt,,F是鞅（或下鞅）；（2）Ttyxttt,,F是下鞅；（3）Ttyxttt,,F是上鞅。证明：（2）设ttyx，则sststtxxEyxEFF。又sststyyExEFF，所以，sssttyxyxEF。习题1-2-2：证明（1）（3）。定理1-2-2（1）设Ttxtt,,F是鞅，f是定义在'R上的凸函数。如果对一切Tt，)]([txFE，则Ttxftt,),(F是下鞅。（2）设Ttxtt,,F是下鞅，f是定义在'R上的非降凸函数。如果对一切Tt，)]([txFE，则Ttxftt,),(F是下鞅。-5-（3）设Ttxtt,,F是上鞅，f是定义在'R上的非降凹函数。如果对一切Tt，)]([txFE，则Ttxftt,),(F是上鞅。证明：（2）因为Ttxtt,,F是下鞅，所以sstxxEF因为f非降，sstxfxEfF又因为f是凸函数，][ststxfExEfFF所以]|[stxfEFsstxfxEfF。习题1-2-3：证明（1）（3）。推论1-2-1设Ttxtt,,F是鞅（或非负下鞅），1，且对Tt，||tx可积，则},,|{|TtxttF是下鞅。证明：习题1-2-4推论1-2-2如果Ttxtt,,F是下鞅，则Ttxtt,,F也是下鞅。这里，0ttxx。证明：习题1-2-5习题1-2-6设1,nxn为独立随机变量序列，0][nxE，则nkknxx1为鞅序列，这里nkxkn,F。