第一章集合与函数概念1.3习题课课时作业(含答案)

§1.3习题课课时目标1.加深对函数的基本性质的理解.2.培养综合运用函数的基本性质解题的能力．1．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则()A．k12B．k12C．k－12D．k－122．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fa－fba－b0成立，则必有()A．函数f(x)先增后减B．函数f(x)先减后增C．f(x)在R上是增函数D．f(x)在R上是减函数3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，且a＋b0，则有()A．f(a)＋f(b)－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)4．函数f(x)的图象如图所示，则最大、最小值分别为()A．f(32)，f(－32)B．f(0)，f(32)C．f(0)，f(－32)D．f(0)，f(3)5．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.6．已知f(x)＝12x－1，x≥0，1x，x0，若f(a)a，则实数a的取值范围是______________．一、选择题1．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x10，x20，且f(x1)f(x2)，那么一定有()A．x1＋x20B．x1＋x20C．f(－x1)f(－x2)D．f(－x1)·f(－x2)02．下列判断：①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．其中正确的序号为()A．②③④B．①③C．②D．④3．定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则函数f(x)＝2⊕xx⊗2－2为()A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数也是偶函数4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()A．－2B．2C．－1D．15．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是()A．增函数且最小值为3B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为－3D．减函数且最大值为－36．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)0的解集是()A．(－1,0)B．(－∞，0)∪(1,2)C．(1,2)D．(0,2)题号123456答案二、填空题7．若函数f(x)＝－x＋abx＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.9．函数f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.(1)求证：函数f(x)在(－∞，0)上是增函数；(2)解关于x的不等式f(x)0.11．已知f(x)＝x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)．(1)若b≥1，求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数；(2)是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．能力提升12．设函数f(x)＝1－1x＋1，x∈[0，＋∞)(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数；(2)设g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？13．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD的周长为y.(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式；(2)求y的最大值，并指出相应的x值．1．函数单调性的判定方法(1)定义法．(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，1fx，f(x)＋g(x)的单调性等．(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．2．二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a0)在区间[m，n]上最值问题，有以下结论：(1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}；(2)若h∉[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，ymax＝max{f(m)，f(n)}(a0时可仿此讨论)．3．函数奇偶性与单调性的差异．函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只是对函数定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．§1.3习题课双基演练1．D[由已知，令2k＋10，解得k－12.]2．C[由fa－fba－b0，知f(a)－f(b)与a－b同号，由增函数的定义知选C.]3．C[∵a＋b0，∴a－b，b－a.由函数的单调性可知，f(a)f(－b)，f(b)f(－a)．两式相加得C正确．]4．C[由图象可知，当x＝0时，f(x)取得最大值；当x＝－32时，f(x)取得最小值．故选C.]5.130解析偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝13.∴f(x)＝13x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.6．(－∞，－1)解析若a≥0，则12a－1a，解得a－2，∴a∈∅；若a0，则1aa，解得a－1或a1，∴a－1.综上，a∈(－∞，－1)．作业设计1．B[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x10，x20，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)f(x2)，则f(－x1)f(x2)得－x1x2，x1＋x20.故选B.]2．C[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1[0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．综上可知，选C.]3．A[f(x)＝2xx2＋2，f(－x)＝－f(x)，选A.]4．D[当t0时f(x)的图象如图所示(实线)对称轴为x＝－t2，则t2＝12，∴t＝1.]5．D[当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选D.]6．D[依题意，因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)0化为f(|x－1|)0，又x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－10，即|x－1|1，解得0x2，故选D.]7．1解析f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(0)＝0，故a＝0.又f(－1)＝－f(1)，所以－－1－b＋1＝1b＋1，故b＝0，于是f(x)＝－x.函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1.8．－1解析∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，且f(2)＝22－3＝1.∴f(－2)＝－f(2)＝－1，∴f(－2)＋f(0)＝－1.9．a－3解析∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)0，则f(1)0，即3＋a0，∴a－3.10．(1)证明设x1x20，则－x1－x20.∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(－x1)f(－x2)．∵f(x)是奇函数，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，∴－f(x1)－f(x2)，即f(x1)f(x2)．∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．(2)解若x0，则f(x)f(1)，∴x1，∴0x1；若x0，则f(x)f(－1)，∴x－1.∴关于x的不等式f(x)0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．11．(1)证明设0x1x21，则x1x20，x1－x20.又b1，且0x1x21，∴x1x2－b0.∵f(x1)－f(x2)＝x1－x2x1x2－bx1x20，∴f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．(2)解设0x1x21，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2x1x2－bx1x2由函数f(x)在(0,1)上是减函数，知x1x2－b0恒成立，则b≥1.设1x1x2，同理可得b≤1，故b＝1.x∈(0，＋∞)时，通过图象可知f(x)min＝f(1)＝a＋2＝3.故a＝1.12．(1)证明设x1x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－1x1＋1)－(1－1x2＋1)＝x1－x2x1＋1x2＋1.由x1x2≥0⇒x1－x20，(x1＋1)(x2＋1)0，得f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)在定义域上是增函数．(2)解g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝1x＋1x＋2，g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加1，f(x)的增加值越来越小，所以f(x)的增长是越来越慢．13．解(1)作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD.由圆的性质，H是中点，设OH＝h，h＝OD2－DH2＝4－x2.又在直角△AND中，AD＝AN2＋DN2＝2－x2＋4－x2＝8－4x＝22－x，所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋42－x，其定义域是(0,2)．(2)令t＝2－x，则t∈(0，2)，且x＝2－t2，所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.