第一篇以二次函数为基架探究点的存在性问题三以特殊三角形为条件的存在问题

第一篇以二次函数为基架探究点的存在性问题三.以特殊三角形为条件的存在问题24．（2004年宜宾市中考本小题满分12分）已知抛物线y=x2+2(m+1)x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1，0）和右侧的点B（x2，0）．（1）求m的取值范围；（2）当||x1+||x2=3时，求这条抛物线的解析式（3）设P是(2)中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．24．(2010荆门市本题满分12分)已知：如图一次函数y＝12x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝12x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝12x2＋bx＋c得第24题图（第24题图）1,10.2cbc得解析式y＝12x2－32x＋1……………………………………………………3分(2)设C(x0，y0)，则有00200011,2131.22yxyxx解得004,3.xy∴C(4，3)．……………………………………………6分由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝32可知E(2，0)．∴S＝12AE·y0－12AD×OB＝12×4×3－12×3×1＝92…………………………………8分当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴BOOPPFCF．即143aa．整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：26.(2010重庆市綦江县)已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)∴c=－6,即y=ax2+bx－6第24题图由061214422baab解得：a=161,b=－41∴该抛物线的解析式为y=161x2－41x－6-----------------3分方法二：∵A、B关于x=2对称∴A（－8，0）设y=a(x＋8)(x－12)C在抛物线上∴－6=a×8×(－12)即a=161∴该抛物线的解析式为：y=161x2－41x－6--------3分（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,在Rt△AOC中，AC=2268=10=AD∴点D在对称轴上，连结DQ显然∠PDC=∠QDC，-----------4分由已知∠PDC=∠ACD∴∠QDC=∠ACD∴DQ∥AC-----------------------------5分DB=AB－AD=20-10=10∴DQ为△ABC的中位线∴DQ=21AC=5-----------------6分AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5∴t=5÷1=5(秒)∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分在Rt△BOC中,BC=22126=65∴CQ=35∴点Q的运动速度为每秒553单位长度.------------------8分（3）存在过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9在Rt△PQH中，PQ=2239=310--------------------9分①当MP=MQ，即M为顶点，图9BCOyxA设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：bkb206解得：36kb∴y=3x-6当x=1时，y=－3∴M1(1,－3)------------------------10分②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.设直线x=1上存在点M(1,y),由勾股定理得：42+y2=90即y=±74∴M2（1，74）M3（1，－74）-----------------------11分③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1,－3)设直线x=1存在点M(1,y),由勾股定理得：(y＋3)2+52=90即y=－3±65∴M4(1,－3＋65)M5((1,－3－65)--------------------12分综上所述：存在这样的五点：M1(1,－3),M2（1，74）,M3（1，－74）,M4(1,－3＋65),M5((1,－3－65).3．（2006·深圳市）如图9，抛物线y=ax2+8ax+12a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长.(2)求该抛物线的函数关系式．(3)在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）32；（2）34338332xxy；（3）4个点：)0,4(),0,0(),0,326)(0,326(2007年龙岩市25．（14分）如图，抛物线254yaxax经过ABC△的三个顶点，已知BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．ACByx011