第一篇以二次函数为基架探究点的存在性问题六以面积为条件的存在问题

EPyxCBOA第一篇以二次函数为基架探究点的存在性问题六.以多边形面积为条件的存在问题24．(2010宜宾市本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0，6)，∴c=6．…………………………………………1分∵抛物线的图象又经过点(–3，0)和(6，0)，∴0=9a–3b+60=36a+6b+6………………………………2分解之，得a=–13b=1…………………………3分故此抛物线的解析式为：y=–13x2+x+6…………4分(2)设点P的坐标为(m，0)，则PC=6–m，S△ABC=12BC·AO=12×9×6=27．……………5分∵PE∥AB，∴△CEP∽△CAB．…………………………………………6分∴S△CEPS△CAB=(PCBC)2,即S△CEP27=(6–m9)2∴S△CEP=13(6–m)2.…………………………………………………7分∵S△APC=12PC·AO=12(6–m)6=3(6–m)∴S△APE=S△APC–S△CEP=3(6–m)–13(6–m)2=–13(m–32)2+274.当m=32时，S△APE有最大面积为274；此时，点P的坐标为(32,0)．………8分(3)如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G(a，b)，………………9分连接AG、GC，∵S梯形AOHG=12a(b+6),GHEPyxCBOAS△CHG=12(6–a)b∴S四边形AOCG=12a(b+6)+12(6–a)b=3(a+b)．……………………10分∵S△AGC=S四边形AOCG–S△AOC∴274=3(a+b)–18．……………11分∵点G(a，b)在抛物线y=–13x2+x+6的图象上，∴b=–13a2+a+6.∴274=3(a–13a2+a+6)–18化简，得4a2–24a+27=0解之，得a1=32，a2=92故点G的坐标为(32,274)或(92，154)．……………………………………12分26.（2005宜宾市中考本小题满分12分）如图（16），已知抛物线的顶点为M（2，―4），且过点A（―1，5），连结AM交x轴于点B．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结PO，以P为顶角、PO为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设△PQR的面积为S。求S与x之间的函数关系式；(4)在上述动点P（x，y）中，是否存在使S△PQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．26、解：（1）∵抛物线的顶点为M（2，-4）.∴可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-4(1分)∵这条抛物线过点A（-1，5），∴5=（-1-2）2-4，解得a=1(2分)∴所求抛物线的解析式为y=(x-2)2-4,即y=x2-4x(3分)(2)设直线AM的解式为y=kx+b;∵A(-5,5)、M(2,-4).∴{-k+b=52k+b=-4,解得k=-3,b=2∴直线AM的解析式为y=-3x+2.当y=0时，得x=32，即AM与x轴的交点B(32,0)(6分)（3）显然，抛物线y=x2-4x过原点O(0,0)当动点P(x,y)使△POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q(2x,0).∵动点P在x轴下方、顶点M左方,∴0x2∵当点Q与B(32,0)重合时，△PQR不存在，∴x31.∴动点(Px,y)应满足条件为0x2且x31.(7分)∴QR与x轴垂直且与直线AM交于点R，∴R点的坐标应表为(2x,-3(2x)+2)，即R(2x,-6x+2).作PH⊥QR于H，则PH|PQxx|=|2x-x|=x,QR=|-6x+2|.而S=△PQR的面积=21QR•PH=21|-6x+2|x.（8分）下面分两种情形讨论：i)当点Q在点B左方时，即0x31时，点R在x轴上方，∴-6x+20.∴S=21(-6x+2)x=-3x2+x(9分)ii)当点Q在点B右方时，即31x2时，点R在x轴下方，∴-6x+20.∴S=21[-(-6x+2)]x=-3x2-x(10分)即S与x之间的函数关系式可表示为S={-3x2+x(0x31)3x2-x(31x2)当S=2时，应有-3x2+x=2,即3x2-x=0，显然△0，此方程无解.或有3x2-x=2，即3x2-x-2=0解得x1=1,x2=32(11分)当x=1时，y=x2-4x=-3，即抛物线上的点P(1,-3)可使S=2.当x=-320时，不合条件，应舍去.∴存在动点P，使S=2,此时P点坐标为(1,-3)(12分)23．(2010德州市本题满分11分)已知二次函数cbxaxy2的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒。①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．xyOABCPQDEGMNFxyOABCPQMN第23题图解：(1)∵二次函数cbxaxy2的图象经过点C(0，-3)，∴c=-3．将点A(3，0)，B(2，-3)代入cbxaxy2得.32433390baba，解得：a=1，b=-2．∴322xxy．-----------2分配方得：412）（xy，所以对称轴为x=1．---3分(2)由题意可知：BP=OQ=0.1t．∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1．解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．25．(2010绵阳市)如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．CEDGAxyOBF②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ．∴MF=MG．∴点M为FG的中点----8分∴S=BPNABPQS-S四边形，=BPNABFGS-S四边形．由ABFGS四边形FGAGBF)(21=29．tFGBPSBPN4032121．∴S=t40329．-------------10分又BC=2，OA=3，∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．∴0t≤20．∴当t=20秒时，面积S有最小值3．--11分解：（1）由题意，得,0424,04416baba解得21a，b=－1．所以抛物线的解析式为4212xxy，顶点D的坐标为（－1，29）．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=132322DMBM．而25)429(122CD．∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=21335．设直线BD的解析式为y=k1x+b，则,29,021111bkbk解得231k，b1=3．所以直线BD的解析式为y=23x+3．由于BC=25，CE=BC∕2=5，Rt△CEG∽△COB，得CE:CO=CG:CB，所以CG=2.5，GO=1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y=21x+23．联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（43，815）．（3）设K（t，4212tt），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则KN=yK－yN=4212tt－（21t+23）=2523212tt．所S△EFK=S△KFN+S△KNE=21KN（t+3）+21KN（1－t）=2KN=－t2－3t+5=－（t+23）2+429．即当t=－23时，△EFK的面积最大，最大面积为429，此时K（－23，835）．28．（2010江苏省宿迁市本题满分12分）已知抛物线cbxxy2交x轴于)0,1(A、)0,3(B，交y轴于点C，其顶点为D．（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线BCOE交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）问Q抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的31？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解:（1）求出：4b，3c，抛物线的对称轴为：x=2……3分xyODCBA（第28题）(2)抛物线的解析式为342xxy，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），∴∠BOE=∠OBD=45∴OE∥BD∴四边形ODBE是梯形………………5分在ODFRt和EBFRt中，OD=5122222DFOF，BE=5122222FBEF∴OD=BE∴四边形ODBE是等腰梯形……………7分(3)存在，……8分由题意得：29332121DEOBSODBE四边形………9分设点Q坐标为（x，y），由题意得：yyOBSOBQ2321三角形=23293131ODBES四边形∴1y当y=1时，即1342xx，∴221x，222x，∴Q点坐标为（2+2，1）或(2-2，1)…………11分当y=-1时，即1342xx，∴x=2，∴Q点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2，1），Q2(2-2，1)，Q3（2，-1）使得OBQS三角形=ODBES四边形31．……12分EFQ1Q3Q2