第一节多元函数的基本概念

第八章多元函数微分法及其应用一、学时分配讲课学时：16学时习题课学时：2学时共18学时二、基本内容1．多元函数的概念、极限、连续性2．偏导数、全微分、复合函数与隐隐约约函数的求导3．多元函数微分学的几何应用4．方向导数与梯度5．多元函数的极值与最值。三、教学要求1．理解多元函数的基本概念；2．理解多元函数偏导数的概念，熟练掌握多元函数偏导数、全微分的求法；3．掌握多元复合函数、隐函数的求导法则；4．理解多元函数微分学的几何应用，了解方向导数与梯度；5．掌握多元函数极值的求法，并会应用其解决实际问题。四、重点难点1．重点：多元函数的偏导数的概念与求法，条件极值2．难点：多元复合函数的求导第一节多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限．教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理．教学难点：计算多元函数的极限．教学内容：一、平面点集1．邻域设000(,)Pxy是xoy平面上的一个点，是某一正数．与点000(,)Pxy距离小于的点(,)Pxy的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，即00(,){}UPPPP，也就是22000(,){(,)()()}UPxyxxyy．在几何上，),(0PU就是xoy平面上以点000(,)Pxy为中心、0为半径的圆内部的点),(yxP的全体．00(,){0}UPPPP称为点0P的去心邻域．2．区域设E是平面上的一个点集，是平面上的一个点．如果存在点的某一邻域，则称为的内点．显然，的内点属于．如果的点都是内点，则称为开集．例如，集合中每个点都是的内点，因此为开集．如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点．的边界点的全体称为的边界．例如上例中，的边界是圆周和．如果对于任意给定的，的去心邻域内总有的点，则称是的聚点．设是点集．如果对于D内任何两点都可用完全包含在D中的折线连结起来，则称点集D是连通的．连通的开集称为区域或开区域．例如，}0),{(yxyx及}41),{(22yxyx都是区域．开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如{(,)1}xyxy及22{(,)14}xyxy都是闭区域．对于平面点集E,如果存在某一正数r，使得(,)EUOr，其中O是原点坐标，则称E为有界点集，否则称为无界点集．例如，22{(,)14}xyxy是有界闭区域，{(,)1}xyxy是无界开区域．3．n维空间n元有序实数组12(,,,)nxxx的全体构成集合12{(,,,),1,2,,}nnixxxxRinR。元素12(,,,)nxxx通常也用单个字母x表示，ix称为x的第i个坐标。在nR中定义线性运算如下：设12(,,,)nxxxx，12(,,,)nyyyy为nR中的任意两个元素，R，规定：1122(,,,)nnxyxyxyx+y，12(,,,)nxxxx这样定义了线性运算的集合nR称为n维空间。二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系hrV2．这里，当,rh在集合,0,0rhrh内取定一对值,rh时，V的对应值就随之确定．例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系p=VRT，其中R为常数．这里，当V、T在集合0{(,)0,}VTVTT内取定一对值(,)VT时，p的对应值就随之确定．定义1设D是平面上的一个点集．称映射:fDR为定义在D上的二元函数，通常记为),(yxfz，(,)xyD（或)(Pfz，PD）．其中点集D称为该函数的定义域，yx、称为自变量，z称为因变量．数集}),(),,({Dyxyxfzz称为该函数的值域．z是yx,的函数也可记为),(yxzz，(,)zxy等等．类似地可以定义三元函数),,(zyxfu以及三元以上的函数．一般的，把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D，则可类似地可以定义n元函数),,,(21nxxxfu．n元函数也可简记为)(Pfu，这里点DxxxPn),,,(21．当1n时，n元函数就是一元函数．当2n时，n元函数就统称为多元函数．关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数()ufx时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域．例如，函数)ln(yxz的定义域为}0){(yxyx（图8-1），就是一个无界开区域．又如，函数)arcsin(22yxz的定义域为}1){(22yxyx（图8-2），这是一个有界闭区域．设函数),(yxfz的定义域为D．对于任意取定的点DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz．这样，以x为横坐标、y为纵坐标、),(yxfz为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM．当),(yx遍取D上的一切点时，得到一个空间点集}),(),,(),,{(Dyxyxfzzyx，图8-1-1图8-1-2这个点集称为二元函数),(yxfz的图形．通常我们也说二元函数的图形是一张曲面．三、多元函数的极限定义2设二元函数),(yxf的定义域为D，),(000yxP是D的聚点．如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点0(,)(,)PxyDUP时，都有Ayxf),(成立，则称常数A为函数),(yxf当00(,)(,)xyxy时的极限，记作00(,)(,)lim(,)xyxyfxyA，或Ayxf),(（00(,)(,)xyxy）．为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限．我们必须注意，所谓二重极限存在，是指),(yxP以任何方式趋于000(,)Pxy时，函数都无限接近于A．因此，如果),(yxP以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于000(,)Pxy时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，如果当),(yxP以不同方式趋于000(,)Pxy时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在．下面用例子来说明这种情形．考察函数,0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf显然，当点),(yxP沿x轴趋于点)0,0(时，(,)(0,0)00lim(,)lim(,0)0xyxyfxyfx；又当点),(yxP沿y轴趋于点)0,0(时，(,)(0,0)00lim(,)lim(0,)0xyyxfxyfy．虽然点),(yxP以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是(,)(0,0)lim(,)xyfxy并不存在．这是因为当点),(yxP沿着直线kxy趋于点)0,0(时,有2222222(,)(0,0)0limlim1xyxykxxykxkxyxkxk，显然它是随着k的值的不同而改变的．例3求(,)(0,2)sin()limxyxyx．解这里xxyyxf)sin(),(的定义域为(,)0,DxyxyR，0(0,2)P为D的聚点．由极限运算法则得(,)(0,2)02sin()sin()limlimlim122xyxyyxyxyyxxy．四、多元函数的连续性定义3设函数),(yxf在开区域（闭区域）D内有定义，),(000yxP是D聚点，且DP0．如果0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxy,则称函数),(yxf在点),(000yxP连续．如果函数),(yxf在开区域（或闭区域）D内的每一点连续，那么就称函数),(yxf在D内连续，或者称),(yxf是D内的连续函数．若函数),(yxf在点),(000yxP不连续，则称0P为函数),(yxf的间断点．这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）D内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数),(yxf没有定义，但在D内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数),(yxf的不连续点，即间断点．前面已经讨论过的函数222222,0,(,)0,0,xyxyxyfxyxy当(,)(0,0)xy时的极限不存在，所以点)0,0(是该函数的一个间断点．二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数11sin22yxz在圆周122yx上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点．一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用．即多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数．由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的，能用一个式子表示出来的多元函数，称为多元初等函数．多元初等函数在其定义区域上都是连续的．例4求(,)(1,2)limxyxyxy．解函数xyyxyxf),(是初等函数，它的定义域为}0,0),{(yxyxD．因D不是连通的，故D不是区域．但}0,0),{(1yxyxD是区域，且DD1，所以D是函数),(yxf的一个定义区域．因10)2,1(DP,故(,)(1,2)3lim(1,2)2xyxyfxy．如果这里不引进区域1D，也可用下述方法判定函数),(yxf在点)2,1(0P处是连续的：因0P是),(yxf的定义域D的内点，故存在0P的某一邻域DPU)(0，而任何邻域都是区域，所以)(0PU是),(yxf的一个定义区域，又由于),(yxf是初等函数，因此),(yxf在点0P处连续．一般地，求)(lim0PfPP，如果)(Pf是初等函数，且0P是)(Pf的定义域的内点，则)(Pf在点0P处连续，于是)()(lim00PfPfPP．例5求(,)(0,0)11limxyxyxy．解(,)(0,0)11limxyxyxy=(,)(0,0)11lim(11)xyxyxyxy=(,)(0,0)1lim11xyxy=21．与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质．性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．这就是说，在D上至少有一点1P及一点2P，使得)(1Pf为最大值而)(2Pf为最小值，即对于一切P∈D,有)()()(12PfPfPf．性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值．一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元初等函数的连续性，如果要求它在点0P处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即)()(lim00PfPfPP小结与思考：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念．讨论中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍．从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推．设集合22{(,)1}Axyxy，22{(,)49}Bxyxy，问EAB是否为区域？作业：作业卡P7-8