电动力学讲义

电动力学讲义铜仁学院物理与电子科学系绪论第0章电动力学数学基础预备知识—矢量场论复习教学目的：掌握梯度、散度、旋度三个重要概念，理解在不同坐标系中不同的表达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理，能够熟练进行二阶微分运算和算符运算。重点难点：梯度、散度、旋度三个重要概念；高斯定理、斯托克斯定理和格林公式；二阶微分运算和算符运算。一、场的概念描描述述一一定定空空间间中中连连续续分分布布的的物物质质对对象象的的物物理理量量。。或或说说：：若若在在一一定定空空间间中中的的每每一一点点，，都都对对应应着着某某个个物物理理量量的的确确定定值值，，就就说说在在这这空空间间中中确确定定了了该该物物理理的的场场。。如如：：强强度度场场、、速速度度场场、、引引力力场场、、电电磁磁场场。。（场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，并且空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如：电势场、温度场等。如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如：电场、速度场等。若场中各点物理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。）场场用用一一个个空空间间和和时时间间坐坐标标的的函函数数来来描描述述：：11、、稳稳恒恒场场（（稳稳定定场场、、静静场场））：：场场与与时时间间无无关关22、、变变化化场场（（时时变变场场））：：场场函函数数与与时时间间有有关关33、、已已知知场场函函数数的的梯梯度度、、散散度度、、旋旋度度可可以以确确定定场场函函数数，，这这是是电电动动力力学学求求解解电电磁磁场场的的主主要要方方法法。。44、、已已知知场场函函数数可可以以了了解解场场的的各各种种性性质质：：随随时时空空的的变变化化关关系系（（梯梯、、散散度度、、旋旋度度））。。二、标量场的梯度1、方向导数方向导数是标量函数)(x在空间一点沿任意方向l相对距离的变化率，它的数值与(,,,)(,)(,,,)(,)xyztxtAxyztAxt标量场矢量场2所取l的方向有关。一般来说，在不同的方向上lPl的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，l为场中的任意方向，P1是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。l为p2和p1之间的距离，从p1沿l到p2的增量为)()(12pp若下列极限lpplll)()(limlim1200存在，则该极限值记作)(x，称之为标量场lPl在p1处沿l的方向导数。2、梯度在某点沿某一确定方向取得)(x在该点的最大方向导数。nnˆgradllnnnlgradˆcos在在空空间间任任意意靠靠近近两两点点函函数数的的全全微微分分xyzdldxedyedzeldedt在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。梯梯度度的的意意义义：：空空间间某某点点标标量量场场函函数数的的最最大大变变化化率率，，刻刻画画了了标标量量场场的的空空间间分分布布特特征征，，已已知知梯梯度度即即可可求求出出沿沿任任一一方方向向的的方方向向导导数数。。等值面()x常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。P1P2lddxdydzxyzxyzdeeeddxyzcos3三、矢量微分算子xyzeeexyz（既有矢量性质，又有微分性质）注意：它可以作用在矢量上，可以作点乘，叉乘。多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度：在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，1例例11、、?r12222[()()()]rrxxyyzz解解rrr例例22、、()?解解：：其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度：四四、、高高斯斯定定理理与与矢矢量量场场的的散散度度11、、矢矢量量族族：：在在矢矢量量场场中中对对于于给给定定的的一一点点，，有有一一个个方方向向，，它它沿沿某某一一曲曲线线的的切切线线方方向向，，这这条条曲曲线线形形成成一一条条矢矢量量线线，，又又叫叫场场线线（（对对静静电电场场称称为为电电力力线线）），，无无穷穷多多条条这这样样的的曲曲线线构构成成一一个个矢矢量量族族。。22、、矢矢量量场场的的通通量量：：面面元元ds的的通通量量：：dAds有有限限面面积积s的的通通量量：：sAds闭闭合合曲曲面面的的通通量量：：sAdsxyzeeexyzyxzxyzxxyyzzAAAAeeeeAeAeAxyzxyzyyxxzzxyzAAAAAAAeeeyzzxxyxyzxyzeeexyzAAAxyzxxyyzzrreeerrrr112()2rxxxxxrr,ryyrzzyrzr()xxx()yyy()zzz()xyzxyzeeeeeexyzxyz()4有有源源无无源源负负源源意意义义：：用用来来描描述述空空间间某某一一范范围围内内场场的的发发散散或或会会聚聚，，它它只只具具有有局局域域性性质质，，不不能能反反映映空空间间一一点点的的情情况况。。33、、高高斯斯公公式式[]yxzsVVAAAAdsAdVdxdydzxyz44、、矢矢量量场场的的散散度度缩缩小小到到一一点点若若在在各各点点出出0A则则称称A为为无无源源场场。。解解：：3xyzrxyz例例：：22、、在空间某点的任意方向上，导数、证证明明：：()AAA有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导五五、、斯斯托托克克斯斯公公式式与与矢矢量量场场的的旋旋度度11、、矢矢量量场场的的环环量量（（环环流流））矢矢量量A沿沿任任一一闭闭合合曲曲线线L的的积积分分称称为为环环量量000()SAdSAV0limSVAdSAV000AAA该该点点有有源源该该点点无无源源该该点点为为负负源源xyzrxxeyyezzer3rr12222(0)rxxyyzzr3333rxxyyzzrxryrzr3443330xxyyxxyyrrrrrxyzAAAAxyzyxzxyzAAAAAAxyzxyzAA5LCAdl0C表表明明区区域域内内无无涡涡旋旋状状态态，，场场线线不不闭闭合合0C表表明明区区域域内内存存在在涡涡旋旋状状态态，，场场线线闭闭合合22、、斯斯托托克克斯斯公公式式（（定定理理））矢量沿任一闭合曲线的积分称为环量33、、矢矢量量场场的的旋旋度度当当L无无限限小小：：矢量沿任一闭合曲线的积分定定义义：：A为为矢矢量量场场的的旋旋度度，，它它在在s法法线线方方向向上上的的分分量量为为单单位位面面积积上上的的环环量量，，刻刻画画矢矢量量场场场场线线在在空空间间某某点点上上的的环环流流特特征征。。若若··空空间间各各点点0A，，则则称称A为为无无旋旋场场。。讨讨论论：：（（11））A矢量（（不不变变量量））（（22））A必必然然代代表表某某一一物物理理量量（（33））从从微微分分的的结结合合方方式式，，说说明明旋旋度度是是A在在垂垂直直于于矢矢量量分分量量方方向向上上的的变变化化率率（（44））0A有有旋旋场场，，0A无无旋旋场场。。（（A，，A决决定定了了））A的的空空间间变变化化率率。。()()()yyxxzzxyzAAAAAAAeeeyzzxxy例例11、、：：证证明明：：0rr证证明明定义为矢量场的旋度，它在同同理理例例22、、证证明明：：()AAA()LSAdlAdS()()nLdlAASAS0()limLnSdlAASnAAn33zzyyyrzr33531yyzzyyyyzrzrrzyxAAAyz33531yyzzzzzzyryrr330yzrrrr30xrr6证证：：称为环量六、二阶微分算符格林定理1、一阶微分运算a)设222)()()(zzyyxxr为源点x与场x之间的距离，r的方向规定为由源点指向场点，试分别对场点和源点求标量场r的梯度。rrrzzeyyexxerrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxzyxˆ)()()(1)()()(rrrrrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxˆ)()()(b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明ududfuf)(证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有yzzyAAAAyyzzzyxAAAyzxxAAxyzxxAAeAeAeAeAA7)()()()()()()()()()(uduudfzueyuexueduudfzuduudfeyuduudfexuduudfezufeyufexufeufzyxzyxzyxc)设xxzzeyyexxerzyx)()()(求rr和?d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明duAduuA)(.)()()()()()()()()(duuAduuduuAdzuduudAyuduudAxuduudAzuAyuAxuAuAzyxzyxe)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明duuAduuA)()(zuduudAyuduudAeyuAxuAexuAzuAezuAyuAeuAyzxxyzzxyyzx)()()()()()()()()(duuAduduudAduudAduudAzuyuxueeeyuduudAxuduudAezyxzyxxyz)()()()()()(