第一讲一元二次方程解法及根的判别式(练)

1一元二次方程(1)重要知识点：一元二次方程根的意义及根的判别式：一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式acb42：（1）0方程有两个不等实数根．（2）0方程有两个相等实数根．（3）0方程无实数根．（4）0方程有两个实数根．※运用根的判别式时要注意：关于x的方程02cbxax有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则00a，且．若有实数根，则分两种情况：①00，a；②0a一、典型例题例1（2013•自贡）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③222212xxab．则正确结论的序号是_____．（填上你认为正确结论的所有序号）例2（2013•北京）已知关于x的一元二次方程04222kxx有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.例3（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且x1＋x2＝2k（k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”.如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－274＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.（1）判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.例4（2013菏泽）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求值：22()(1)mmmm．例5（2013菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；2（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2﹣x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．例6（2013日照）已知，关于x的方程xmmxx2222的两个实数根1x、2x满足12xx，求实数m的值.例7.（2013山东）如图,已知抛物线xxy421和直线xy22.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个例8.(2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？二、巩固练习1.（2013咸宁市）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2B．1C．0D．﹣12.（2013山东）方程0411)1(2xkxk有两个实数根，则k的取值范围是（）．A．k≥1B．k≤1C．k1D．k13.我们知道，一元二次方程21x没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1.若我们规定一个新数“i”,使其满足21i（即方程21x有一个根为i）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有322123242,1,1,11iiiiiiiiii,从而对于任意正整数n,我们可以得到4144nnniiiiii,同理可得421ni,43nii,41ni.那么23420122013iiiiii的值为()A.0B.1C.1D.i4.（2013绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程2380xkx，则△ABC的周长是.5.（2013贵州）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是．6.对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=22()()aabababbab．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=．7.（2013湖北）设242210,210aabb，且210ab，则52231abbaa=________.8.（2013黑龙江省）先化简，再求值：235(2)362mmmmm，其中m是方程2310xx的根．9.（2013四川乐山）已知关于x的一元二次方程22x2k1xkk0。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。10.(2013四川)某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒，其运动速度v(米/秒)关于时间t(秒)的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积．由物理学知识还可知：该物体前n(3＜n≤7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和．4根据以上信息，完成下列问题：(1)当3＜t≤7时，用含t的代数式表示v；(2)分别求该物体在0≤t≤3和3＜t≤7时，运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关系式；并求该物体从P点运动到Q点总路程的710时所用的时间．11.（2013湖南）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD．(1)若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB=m，CD=n，BD=l，请问在m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个P点?三个P点?12.（2013绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆.（1）若商城前4个月自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？v(米/秒)t(秒)OABMCEND10237n第10题图CABDP