第一部分专题六第1讲专题强化精练提能

[A卷]1．设M、N是两个非空集合，定义MN＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0，1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5}，则PQ中元素的个数是()A．4B．9C．20D．24解析：选C.依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素，故选C.2．(2015·长沙模拟)在ax6＋bx4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝()A．20B．15C．10D．5解析：选D.Tr＋1＝Cr4a4－rbrx24－7r，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，所以ab3＝5.3．用0，1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279解析：选B.0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．4．(2015·郑州市第二次质量预测)某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．3种B．6种C．9种D．18种解析：选C.由题知有2门A类选修课，3门B类选修课，从里边选出3门的选法有C35＝10种．两类课程都有的对立事件是选了3门B类选修课，这种情况只有1种．满足题意的选法有10－1＝9种．故选C.5．(2015·山西省四校第三次联考)若x6＋1xxn的展开式中含有常数项，则n的最小值等于()A．3B．4C．5D．6解析：选C.因为Tr＋1＝Crn(x6)n－r1xxr＝Crnx6n－152r，当Tr＋1是常数项时，6n－152r＝0，即n＝54r，故n的最小值为5，故选C.6．(2015·唐山市第一次模拟)x2＋1x2－23展开式中的常数项为()A．－8B．－12C．－20D．20解析：选C.因为x2＋1x2－23＝x－1x6，所以Tr＋1＝Cr6x6－r－1xr＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以常数项为C36(－1)3＝－20.7．在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有()A．60个B．36个C．24个D．18个解析：选A.依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是偶数，有A33个；(2)3个数字中有2个是奇数，1个是偶数，有C23C13A33个，故共有A33＋C23C13A33＝60个，故选A.8．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8解析：选B.根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，Cm2m＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，Cm2m＋1＝Cm＋12m＋1＝b.又13a＝7b，所以13Cm2m＝7Cm2m＋1，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选B.9．若(1＋sinx)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且系数最大的项的值为52，则x在[0，2π]内的取值为()A.π6或5π6B．π6C.5π6D．π3或5π6解析：选A.(1＋sinx)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和Cn－1n＋Cnn＝n＋1＝7，所以n＝6，系数最大的项为第4项，T4＝C36(sinx)3＝52，所以(sinx)3＝18，所以sinx＝12.又x∈[0，2π]，所以x＝π6或5π6，故选A.10．某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队．要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同的排法种数为()A．360B．520C．600D．720解析：选C.若甲、乙只有一辆参加，则总排法有C12C35A44＝480(种)；若甲、乙均参加，排法有A25A23＝120(种)．故不同排法种数为480＋120＝600.故选C.11．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有2位相邻，则不同排法的种数是()A．12B．24C．36D．72解析：选B.依题意，满足题意的不同排法种数是A22·(C23·A22)·A22＝24，故选B.12.1＋x＋1x210的展开式中的常数项为()A．4351B．4352C．4353D．4354解析：选A.法一：1＋x＋1x210＝1＋x＋1x2·1＋x＋1x2…1＋x＋1x2，为得到常数项：(1)可在右边10个括号中取10个1；(2)取1个1，6个x，3个1x2；(3)取4个1，4个x，2个1x2；(4)取7个1，2个x，1个1x2.因此，所求的常数项为C1010＋C110C69C33＋C410C46C22＋C710C23C11＝4351.法二：因为1＋x＋1x210＝1＋x＋1x210的展开式中的第(r＋1)项为Tr＋1＝Cr10x＋1x2r，当且仅当x＋1x2r的展开式中第(k＋1)项为常数时，原展开式才是常数项，而Tk＋1＝Ckrxr－k1x2k＝Ckrxr－3k，令r－3k＝0，所以r＝3k，即r是3的倍数，且0≤r≤10，故r＝0，3，6，9.(1)当r＝0时，k＝0，常数项为C010＝1；(2)当r＝3时，k＝1，常数项为C310C13＝360；(3)当r＝6时，k＝2，常数项为C610C26＝3150；(4)当r＝9时，k＝3，常数项为C910C39＝840.故展开式中常数项为C010＋C310C13＋C610C26＋C910C39＝4351.13．已知集合A＝{4}，B＝{1，2}，C＝{1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为________．解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C11C12C13A33＝36，但集合B，C中有相同元素1，由4，1，1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36－3＝33.答案：3314．(2015·邢台市摸底考试)已知a＝－π2π2cosxdx，则ax2－1x5的二项展开式中，x的系数为________．解析：依题意得a＝sinx|π2－π2－π2＝2，ax2－1x5＝2x2－1x5的展开式的通项Tr＋1＝Cr5·(2x2)5－r·－1xr＝Cr5·25－r·(－1)r·x10－3r.令10－3r＝1得r＝3.因此所求系数等于C35×22×(－1)3＝－40.答案：－4015．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________．解析：原等式两边求导得10(2x－3)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令上式中x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.答案：1016．从1，3，5，7，9中任取2个数，从0，2，4，6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是________．解析：①形如“1××5”，中间所缺的两数只能从0，2，4，6中选取，有A24＝12个．②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有C14C13A22＝24个．③形如“3××5”，同①有A24＝12个．④形如“4××5”，同②，也有C14C13A22＝24个．⑤形如“6××5”，也有C14C13A22＝24个，以上5类小于7000的数共有96个．故第97个数是7025，第98个数是7045，第99个数是7065，第100个数是7205.答案：7205[B卷]1．(2015·洛阳市诊断考试)从6名男医生、5名女医生中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种解析：选C.从6名男医生中选出2名有C26＝15种不同的选法，从5名女医生中选出1名有C15＝5种不同的选法，根据分步乘法计数原理可得，组成的医疗小组共有15×5＝75种不同的选法，故选C.2．满足m，n∈{－1，0，1，2，3}，且关于x的方程mx2＋2x＋n＝0有实数解的有序数对(m，n)的个数为()A．17B．14C．13D．12解析：选A.当m＝0时，2x＋n＝0⇒x＝－n2，有序数对(0，n)有5个；当m≠0时，Δ＝4－4mn≥0⇒mn≤1，有序数对(－1，n)有5个，(1，n)有3个，(2，n)有2个，(3，n)有2个．综上，共有5＋5＋3＋2＋2＝17(个)，故选A.3．(2015·黄冈模拟)设n为正整数，x－1xx2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为()A．16B．10C．4D．2解析：选B.x－1xx2n展开式的通项为Tk＋1＝Ck2nx2n－k－1xxk＝Ck2n(－1)kx4n－5k2，令4n－5k2＝0，得k＝4n5，所以n可取10.4．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有()A．150种B．147种C．144种D．141种解析：选D.如图，从10个点中任取4个点的组合数为C410＝210，其中四点共面的可分为三类：(1)4点在同一个侧面或底面的共4组，即4×C46＝60(种)；(2)每条棱的中点与它对棱的三点共面的有6种；(3)在6个中点中，四点共面的有3种．则4点不共面的取法共有210－(60＋6＋3)＝141(种)．5．(2015·安庆模拟)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是()A．10B．15C．20D．25解析：选C.(1＋x)n二项展开式的通项为Tk＋1＝Cknxk，要使其出现x2项，则k＝2且n≥2，n∈N*，故含x2项的系数为C22＋C23＋C24＋C25＝1＋3＋6＋10＝20，故选C.6．在x＋13x30的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项解析：选C.由于Tr＋1＝Cr30x15－56r(0≤r≤30，r∈N)，若展开式中x的幂指数为整数，由通项公式可知r为6的倍数，易知r＝0，6，12，18，24，30均符合条件，故选C.7．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A．8种B．10种C．12种D．32种解析：选B.从A到B若路程最短，需要走三段横线段和两段竖线段，可转化为三个a和两个b的不同排法，第一步：先排a有C35种排法，第二步：再排b有1种排法，共有10种排法，故选B.8．(2015·福州地区八校联考)三名男生和三名女生站成一排，若男生甲不站在两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数是()A．120B．96C．84D．36解析：选A.依题意，得不同的排法种数是A33A34－2A22A33＝120，故选A.9．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于()A．27B．28C．7D．8解析：选C.取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②①与②两式左、右两边分别相减得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7.10．(2015·福州模拟)已知不等式x－2ax－10的解集为(－1，2)，则二项式ax－1x26的展开式中的常数项是()A．－15B．15C．－5D．5解析：选B.因为不等式x－2ax－10的解集为(－1，2)，即x－2ax－1