数值分析总结

第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky分解）追赶法列主元三角分解法*2.Gauss消去法Gauss主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法）Gauss顺序消去法3.方程组的性态与误差分析向量和矩阵的范数（基础知识）方程组解的相对误差估计矩阵的条件数病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。设B为迭代矩阵，如果||B||1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)1更为方便，但此结论仅为充分条件。如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)1是否成立。如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。当ρ(B)1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。当ρ(B)=0时，则理论上迭代有限步得到精确解。对简单迭代法而言，有的对任意初始向量都收敛（通常所说的收敛），有的对部分初始向量收敛，有的对任意初始向量(解向量除外)都不收敛。③对于由简单迭代法导出的Gauss-Seidel迭代法：x(k+1)=B1x(k)+B2x(k)+gk=0,1,…应用上述结论需首先将由简单迭代法导出的Gauss-Seidel迭代格式改写为简单迭代：x(k+1)=(I–B1)−1B2x(k)+(I−B1)−1gk=0,1,…迭代收敛的充要条件为ρ((I−B1)−1B2)1若||(I−B1)−1B2||1则对于任意的初始向量x(0)，与简单迭代法相应的Gauss-Seidel迭代收敛。设B=B1+B2，若||B||∞1，或||B||11，则对于任意初始向量x(0)，与简单迭代法相应的Gauss-Seidel迭代收敛。④掌握Jacobi迭代及由Jacobi迭代导出的Gauss-Seidel迭代收敛性的判断方法。对于Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代的收敛性，首先考察系数矩阵A是否严格对角占优。对于Gauss-Seidel迭代，其次考察系数矩阵A是否对称正定。其它判断方法与简单迭代以及由简单迭代导出的Gauss-Seidel迭代之收敛性判断方法相同。⑤掌握SOR迭代收敛性判断的方法。SOR迭代收敛的必要条件说明：要使SOR迭代收敛，必须选取0ω2；但0ω2未必能保证SOR迭代收敛。对SOR迭代首先考察系数矩阵A是否对称正定。其它判断方法与简单迭代收敛性的判断方法类似。⑥在Jacobi,Gauss-Seidel,SOR三个常用方法中，其效率与问题及松弛因子的选取有关。Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代的收敛性没有确定关系。两者可以同时收敛、同时发散或其中某个收敛而另一个发散。若Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代同时收敛，一般Gauss-Seidel迭代收敛速度较快，但Jacobi迭代具有并行性。当松弛因子ω适当时，SOR方法收敛很快，不适当时收敛非常慢。但最佳松弛因子的选取依赖一定的理论基础与实际计算经验。⑦当迭代格式收敛时，可用||x(k)−x(k−1)||∞ε作为迭代终止的控制条件。⑧收敛的迭代格式其最终的计算结果与初始向量的选取无关。但初始向量的选取对迭代的工作量有一定影响。若对初始向量的选取无任何工程背景，可取x(0)=0⑨对于发散的迭代格式有时可以通过方程组变形构造收敛的迭代格式。⑩在迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f中，若I−B是病态阵，那么一般得不到好的结果。第五章函数插值1.Lagrange与Newton插值公式插值问题的求解插值余项表达式的运用（导数型及差商型）反插值问题的求解（用反插值法时必须满足单值性条件）差商的计算及性质2.Hermite插值公式多项式及其余项表达式的构造Hermite插值多项式的构造余项表达式的构造(过程)3.插值多项式的存在惟一性函数插值问题导数插值问题4.等距节点插值公式等距插值问题的求解差分的计算及性质5.分段低次插值高次插值的问题（很少采用）分段低次插值公式指定误差限，估计节点个数或节点间距离6.三次样条插值函数的定义及构造第六章函数的最佳平方逼近与数据的最小二乘拟合逼近1.连续函数的最佳平方逼近最佳平方逼近问题的求解基于正交函数基的最佳平方逼近问题的求解（利用已知正交基及构造正交基）平方逼近误差的计算2.离散数据的曲线拟合线性与非线性（求倒数、求对数等）拟合模型的求解平方误差的计算矛盾方程组的求解3.相关知识赋范线性空间内积空间正交多项式第七章数值积分与数值微分1.插值型求积公式低阶Newton-Cotes公式及其截断误差插值型公式及Newton-Cotes公式代数精确度的结论求积公式代数精度的判别求积公式的收敛性与稳定性2.复化求积算法复化梯形公式、复化Simpson公式及其余项运用复化公式的余项估计求积节点的个数（或求积节点间距离）基于误差事后估计法计算积分3.Romberg求积算法步长折半的复化梯形公式用低精度公式构造高精度公式用Romberg求积算法计算积分外推技巧4.Gauss型求积公式Gauss型求积公式的一些理论Gauss型求积公式的构造（Gauss点的选取及Gauss求积系数的确定）用Gauss型求积公式计算积分5.数值微分用插值法及Taylor级数展开法推导或证明数值微分公式第八章常微分方程初值问题的数值解法1.数值公式建立的三种方法Taylor展开法差商直接代替微商数值积分法2.线性多步法建立数值公式并计算基于Taylor级数展开构造公式并计算（1）指定局部截断误差（或方法阶数）及节点信息时，构造相应的线性多步法；（2）对给定的数值公式，判断方法的阶数；（3）指明局部截断误差主项。基于数值积分构造公式并计算3.简单单步法的计算、局部截断误差和阶Euler-梯形预测校正公式显式Euler公式隐式Euler公式梯形公式4.Taylor级数展开法及R—K方法Runge—Kutta方法指定局部截断误差（或方法阶数）时，构造相应的Runge—Kutta公式；Taylor级数展开法构造公式并计算5单步法的收敛性和稳定性给出具体格式的稳定性条件具体格式的收敛性第九章矩阵特征值与特征向量的计算1.Givens矩阵与Householder矩阵用Givens矩阵对向量与矩阵进行约化旋转阵可将指定的元素变为零。用Householder对向量与矩阵进行约化反射阵可将n维向量中后n-1个元素一次变为零。2.矩阵的约化实对称矩阵正交约化为三对角阵一般矩阵正交约化为上Hessenberg阵运用正交矩阵做出矩阵的QR分解3.特征值、特征向量计算的方法变换法Jacobi方法（对称矩阵）二分法（对称矩阵）QR算法（一般矩阵）迭代法乘幂法（一般矩阵按模最大）反幂法（一般矩阵按模最小）