5人寿保险

1第五章人寿保险•了解传统个人寿险产品及其特点•掌握定期寿险、终身寿险、两全保险精算现值的计算•能够利用寿险精算现值递推公式解决相关问题传统人寿保险产品2传统个人寿险产品的被保险人是单个人，以被保险人在保险期内死亡或生存为保险赔付或给付条件，预先规定保险金额的水平及其给付方式，并根据经验生命表和预定利率等预先确定保费水平和保单退保现金价值。在实践中，传统个人寿险产品又分为定期寿险、终身寿险、两全保险等。定期寿险3均衡保费定期寿险简称为定期寿险，保险费在约定的缴费期内均衡缴付，通常缴费期与保险期相同。递增保费定期寿险的保险费在缴费期内递增，在实践中常见的递增保费定期寿险是每年更新定期寿险。保额递减定期寿险的死亡赔付金额随着已投保时期的延长而降低，保险费通常采取均衡方式。实践中最常见的保额递减寿险是以抵押贷款余额为死亡赔付额，以还款期为保险期的定期保险。两全保险4定义：在规定的保险期内，如果被保险人死亡，保险人赔付死亡保险金，如果被保险人在保险满期存活，保险人给付生存保险金的保险产品。非分红保险根据精算假设和规定的保险金额确定保费和现金价值，投保人不分享公司红利。分红保险的投保人每年以红利方式分享公司利润的一部分，实际上相当于增加了保险金额，或者在规定的保险金额下减少了保险费。第二节死亡年年末赔付寿险精算现值5引例：假如有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如果预定年利率为3％，各年预计的死亡人数为分别为1、2、3、4、5人，这时，每年的赔付支出及其折现值如表4-1所示：一、定期寿险6将各年的赔付现值加总，可以得到发行100张保单的未来赔付支出现值（元）：1234510001.0320001.0330001.0340001.0350001.0313468.48所以，平均每一保单的未来赔付现值为134.68元。这一现值被称为这一保单的精算现值。基本符号(x)：x岁开始投保的人：对(x)的1单位元死亡年年末赔付的n年期定期寿险的精算现值。：(x)在x+k~x+k+1岁间死亡，年末x+k+1岁上的1单位元赔付在利率i下折现到投保时的现值。：被保险人(x)在x+k~x+k+1岁间死亡的概率1kxkq71:xnA1k8112n11n1:0nkxxxxkxnkAqqqq｜｜｜1:xnA定期寿险精算现值在投保时一次性缴清方式的净保费称为趸缴净保费，也就是保单发行时的精算现值。1kxkq：被保险人(x)在x+k~x+k+1岁间死亡产生的死亡赔付期望现值由于投保人(x)可能在k=0,1,2,…,n-1上死亡，所以加总各年死亡赔付期望现值，就得到定期寿险在投保时的精算现值。9从随机变量的概率分布角度进行分析：设（x）的整值余寿随机变量为K(x),简记为K。以Z表示1单位元赔付现值随机变量，则1kZv如果赔付额依赖于余寿K，以表示赔付额函数，则1kb11kkzbv对(x)的1单位元年末赔付的n年定期寿险，其现值随机变量为11,0,1,2,...,1kbkn1,0,1,2,...,10,,1,...kvknZknn又，K的概率分布函数为|Pr()kxxkkxKkpqq赔付现值的数学期望为111|:0()nkkxxnkAEZvq10例5.1某人40岁时投保了3年期10000元定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）(男女混合)和利率5％，计算趸缴净保费。解：趸缴净保费为1234040412404240:31000010000()Avqvpqvpq230.001650(10.001650)0.00181210000[1.051.05(10.001650)(10.001812)0.001993]1.0549.28()元115.25010000030例张某在岁时投保了一份保额为元的年定期寿险，假设1000(1),0.08105xxl预定利率为，求该保单的趸缴净保费。解：该生命表的最大年龄是105岁，故t的取值范围是0到55，所求的赔付现值是：291(1)505050300100000A1000001.08ttttpq：5050105(50)155(54)111105(50)5555tttttqpttt50505010550551055055ttlttpl其中故该保单的趸缴净保费是291(1)50300551100000A1000001.085555tttt：3011()10000011.0820468.70()1551.0811.08元二、终身寿险12Ax：对(x)的1单位元死亡年年末赔付的终身寿险的精算现值。由于投保人(x)可能在k=0,1,2……上死亡，因此，终身寿险精算现值Ax正是(x)在各年死亡赔付期望现值之和。10kxxkkAq｜注：上式的求和上限实际为ω-x-1其中，ω是生命表极限年龄，ω-1是按生命表能够存活的最大年龄。135.350100000例张某在岁时投保了一份保额为元的终身寿险，假设单的趸缴净保费。1000(1),0.08105xxl预定利率为，求该保13解：该生命表的最大年龄是105岁，故t的取值范围是0到55，所求的赔付现值是：55(1)5050500100000A1000001.08ttttpq5050105(50)155(54)111105(50)5555tttttqpttt50505010550551055055ttlttpl其中故该保单的趸缴净保费是551(1)50300551100000A1000001.085555tttt：5611()10000011.0822421.91()1551.0811.08元141414解：由4040411(41)110511140(40)561105tttstqptst40401(40)6510540(40)651105ttsttps有故该保单的精算现值是64(1)40065120000A200001.106565tttt例5.4某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为，死亡赔付在死亡年年末，i=10%,求这一保单的精算现值。()1105xsx()1105xsx(1)404040020000A20000ttttvpq代入数据，得6564(1)10200002000011.1=1.103070.65()656511.1tt元生存保险:n年纯生存保险精算现值。定义：n年纯生存保险是以满期被保险人仍然存活为给付条件的生存保险。1:nnxnxkxnknAqp｜15｜1:nxA三、两全保险其现值随机变量为,,1,...Z0,0,1,2,...,1nvknnkn精算现值两全保险161111:::0=nknxnxxnkxnxnkAAAqp｜｜｜｜定义：对(x)的1单位元n年两全保险，是对(x)的n年定期寿险和n年纯生存保险的合险。：对(x)的1单位元n年两全保险精算现值。｜nxA:1,0,1,2,...,1Z,,1,...knvknvknn其现值随机变量为精算现值175.55010000030例张某在岁时投保了一份保额为元的年两全保险，解：11503050305030100000A100000A100000A：：：死亡年末给付，求该保单的趸缴净保费。30305020468.701000001.08p302520468.701000001.085524985.85()元由例5.2、例5.3、例5.5可以看出1::xxnxnAAA18转换函数为方便计算，传统的保险精算学引入了转换函数，转换函数本身没有直观的实际意义。xxxDvl生命表x岁存活人数每人1单位元在0岁的现值1xxxCvdx到x+1岁死亡人数每人1单位元赔付在0岁的现值一些用转换函数表示的精算公式10Akxkxxkkpqv10xkxkxkxkxxkldvllv0xkkxCDxxMD11:0nxtxxnxntxxCMMADD1:xnnxnxnxnxxnxxlDvAvpvlvD11:::xxnxnxxxnnnxMMDAAAD0xxkkMC从x岁起到生命表最大年龄岁上每人1单位元赔付在0岁的总现值1四、延期m年终身寿险19定义：对(x)的1单位元m年延期终身寿险，是从x+m岁起到被保险人终身止的1单位元寿险。：对(x)的1单位元m年延期终身寿险的精算现值。xmA1kxxmkkmAq终身寿险可以看成由一个n年定期寿险与一个延期n年终身寿险组合1:xxnxnAAA其随机变量为10,0,1,2,...,1,,1,...kkmZvkmm精算现值用转换函数表示为|Amx1|kkxkmvq1xmkxmkxkmxdvvlvxmkkmxCDxmxMD五、延期m年的n年定期寿险20定义：对(x)的1单位元延期m年n年定期寿险是从x+m岁起到x+m+n年的定期寿险。：对(x)的1单位元延期m年n年定期寿险的精算现值。xnmA11mnkxxmnkkmAq11::xmnxmAA｜｜其随机变量为10,0,1,2,...,1,,1,...,1kkmZvkmmmn精算现值用转换函数表示为|Amnx11|mnkkxkmvq11xmnmkxmkxkmxdvvlvxmxmnxMMD21例5.6某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40岁到65岁之间死亡，保险公司赔付50000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁之间死亡，保险金为30000元。利用转换函数写出保单精算现值的表达式。解：这份保单可分解成一份50000元的25年定期寿险、一份100000元的延期25年的10年定期寿险、一份30000元的延期35年的终身寿险，故其精算现值为125|104035|4040:255000010000030000AAA40656575754050000()100000()30000MMMMMD40657540500005000070000MMMD六、变额寿险22定义：标准递增的变额寿险，是赔付额bK+1=k+1，k是从投保开始到死亡存活的整数年数的变额寿险。现值随机变量(IA)x：标准递增的终身寿险的精算现值。10()()(1)kxxkkIAEZkq｜（一）标准递增变额寿险1(1)0,1,2,...kZKvk0xkkA｜2311|2||2311|2||312||..................kxxxkxkxxkxkxkxvqvqvqvqvqvqvqvqvqxA1|xA2|xA231:()xnIA：标准递增的n年定期寿险的精算现值。111:0()(1)nkxxknkIAkq｜1:xnA1|1nxA2|2nxA1|1nxA10nxkkA｜n-k2311|2||2311|2||312||..................kxxxkxkxxkxkxkxvqvqvqvq