第七章梁弯曲时的变形

第七章梁弯曲时的变形§7−1概述图7−1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移，称为挠度，用y表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C截面转过的角度θ即为C截面的转角。梁变形后的轴线可用下式表示：)(xfy（7−1）称为挠曲线方程。)(ddtanxfxy（7−2）称为转角方程。§7−2梁的挠曲线近似微分方程及其积分在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为EIxMxy)(dd22（7−3）式中的正负号取决于22ddxy与)(xM的正负号的规定。在如图11−2所示的坐标系中，y轴以向下为正，当M(x)0时，梁的挠曲线向下凸，此时0dd22xy；当M(x)0时，梁的挠曲线向上凸，此时0dd22xy。)(xM与22ddxy的符号关系如图11−2所示。这样，在图示坐标系中，)(xM与22ddxy的符号总是相反，所以式（7−3）中应取负号，即：xxyyOOM00dd22xyMMMM图7−2M00dd22xyC'θCBA图7−1yxyyθEIxMxy)(dd22（7−4）对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI为常数，对式（7−4）积分一次，得CxxMEIxyd)(1dd（7−5）再积分一次，可得DCxxxMEIy2d1（7−6）以上两式中，C、D为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7−3a）中，A、B支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7−3b）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C、D确定后，代入式（7−5）、（7−6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。例题7−1图示等截面悬臂梁AB，在自由端作用一集中力F，梁的弯曲刚度为EI，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度ymax和最大转角θmax。解：（1）列出梁的弯矩方程建立坐标系如图a所示，取x处横截面右边一段梁作为脱离体（图b），弯矩方程为：)()(xlFxM（a）（2）建立梁的挠曲线近似微分方程由式（7−4）得：EIxlFEIxMxy)()(dd22（b）（3）对微分方程二次积分积分一次，得：CFxFlxEIxy2211dd（c）再积分一次，得：DCxFxFlxEIy3261211（d）（4）利用梁的边界条件确定积分常数在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即：0x时，0y，0代入式（c）、（d），求得C=0，D=0。M(x)ABxFEIylx例题7−1图（a）l−x（b）FS(x)FxxyθA=0A图7−3yB=0yA=0BA(a)yByA=0(b)（5）给出转角方程和挠曲线方程2211ddFxFlxEIxy（e）3261211FxFlxEIy（f）（6）求最大挠度和最大转角根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x=l处。将x=l代入（e）、（f）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为：EIFlEIFlEIFl22222maxEIFlEIFlEIFly362333max挠度为正，说明梁变形时B点向下移动，转角为正，说明横截面B沿顺时针方向转动。用积分法计算梁的位移时，应先写出梁的弯矩方程，建立梁的挠曲线近似微分方程，然后通过积分得到转角和挠曲线方程式，积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时，应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似微分方程，并分段积分。积分常数的确定除了利用梁的边界条件外，还需利用梁的变形连续条件。§7−3叠加法当梁上同时作用几种荷载时，所引起的梁的位移可采用叠加法计算，即先分别求出每一项荷载单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各荷载同时作用时所引起的位移。例题7−4图示简支梁AB，受均布荷载和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为EI，试用叠加法求梁跨中点C的挠度值和A、B截面的转角。解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图（b）、(c)所示。均布荷载单独作用时，从表格11−1可以查得：EIqlyCq38454，EIqlθAq243，EIqlθBq243集中力偶单独作用时，从表格7−1可以查得：EIlMyCM162e，EIlMAM3e，EIlMBM6e将以上两个结果叠加，得：EIlMEIqlyyyCMCqC1638452e4EIlMEIqlA324e3例题7−4图BxyCMeqθBθAll/2（a）l/2AB（b）xCqll/2l/2AyB（c）xyCMell/2l/2AqBAlyxymax例题7−7图F图7−6EIlMEIqlB624e3§7−4梁的刚度校核对于梁的刚度，通常是以挠度的容许值与跨长的比值lf作为校核的标准，即梁在荷载作用下产生的最大挠度maxy与跨长l的比值不能超过lf，所以梁的刚度条件可以写成：lflymax（7−7）式中：lf根据不同的工程用途，在有关规范中，均有具体的规定值。例题7−7图示悬臂梁AB，承受均布荷载q的作用。已知：l=3m，q=3kN/m，4001lf，梁采用20a号工字钢，其弹性模量E=200GPa，试校核梁的刚度。解：查得工字钢的惯性矩为:44m100.237I梁的最大挠度为：m104.610237.010200831038349434maxEIqly400146813106.43maxly满足刚度要求。对于工程中的梁，必须要同时满足强度条件和刚度条件。一般情况下，强度条件往往起控制作用，如果满足强度条件，刚度条件一般也能满足。因此，在设计梁时，一般先由强度条件选择梁的截面，然后再校核刚度。§7−5简单超静定梁的求解如果梁的支座反力和内力仅靠静力平衡条件不能全部确定，这种梁称为超静定梁。例如在简支梁的中间增加一个支座（图7−4b），此时梁的支座反力有四个，而对该梁只能列出三个独立的静力平衡方程，所以只用静力平衡条件不能求出全部的支座反力，即该梁是超静定梁。又如在悬臂梁的自由端加一支座（图7−5b），该梁也是超静定梁。图7−4b和图7−5b所示的梁均为一次超静定梁，而图7−6所示的梁为二次超静定梁。超静定梁的内力求解方法很多，这里介绍最基本的一种——变形比较法。下面结合图11−7所示的超静定梁来具体说明该方法。q(c)(d)qqFRBABl(b)ABl(a)FRCFRBFRBMA(b)ABCF(b)图7−5BAqAqBABF(a)(a)FAyFAxFAyFAx图7−7a所示为一次超静定梁，故需建立一个补充方程。将支座B视为多余约束，将该支座解除，并在B点施加与所解除的约束相对应的支座反力FRB，假设其方向向上。这样就得到了一个在均布荷载q和FRB共同作用下的静定悬臂梁（图7−7b）。该静定梁的变形情况应与原超静定梁的变形相同。根据原超静定梁的约束条件可知，此梁在B点的挠度应等于零，即0By。则图7−7b所示的静定梁在均布荷载q和FRB共同作用下，B点的挠度也应等于零，按叠加法，B点的挠度可写成：0BFBqByyy（a）式中：yBq为悬臂梁在均布荷载单独作用下引起的B点的挠度（图11−7c)，由表格11−1可查得：EIqlyBq84（b）yBF为悬臂梁在FRB作用下B点的挠度（图7−7d），同样由表格7−1可查得：EIlFyBBF33R（c）将（b）、（c）两式代入（a）式，得：0383R4EIlFEIqlB（d）由该式可解得：qlFB83R所得FRB为正，说明FRB的实际方向与假定方向相同。求得FRB后，可按静力平衡条件求出该梁固定端的三个支反力，即：FAy281ql图7−8M图ql83ql85FS图qABlFRBFAxMA21289qll830AxF，qlFAy85，281qlMA并可绘出其剪力图和弯矩图（图7−8）。