第七章概率模型(许)

第七章概率模型第一节简单的概率模型在现实生活中存在一些不确定性问题，它遵循某种随机规律，因此要研究这些实际问题，就需要借助以概率统计为基础的数学工具，按照研究目的和对象的客观规律来建立数学模型，这就是概率模型。例1、取球问题盒中放有12个兵乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从盒中任取3个，用后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。分析：第二次取球是在第一次比赛之后，所以当第二次取球时何种就不一定有9个新球了，因为第一次用的3个球可能有0、1、2、3个新球，所以第二次全取新球直接受这四种可能性的影响，可用全概率公式求解。解：设A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；)3,2,1,0(iBi表示“第一次比赛时用了i个新球”的事件，则由题意得：312339)(CCCBPiii31239)|(CCBAPi于是由全概率公式：146.03025441)|()()(303123931233930iiiiiiiCCCCCBAPBPAP例2、客车停站问题一辆送客汽车载有20位乘客从起点站开始开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。设随机变量X表示停车次数)10,,2,1(01iiiXi，站没人下车，第站有人下车，第则由题意可知：101iiXX因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所以每一位乘客在第i站不下车的概率为109，于是20位乘客在第i站不下车的概率为20)109(，在第i站有人下车的概率为20)109(1，所以20)109(1)1(iXP20)109()0(iXP于是202020)109(1])109(1[1)109(0)(iXE从而得汽车平均停车次数878.8])109(1[10])109(1[)()()(2010120101101iiiiiXEXEXE第二节报童的诀窍报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回，设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c，报童每天如果购进的报纸太少不够卖的，会少赚钱；如果购进太多卖不完，将要赔钱，请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.附表:159天报纸需求量的分布情况需求量100～119120～139140～159160～179180～199200～219220～239240～259260～279280～天数3913223235201582根据这些数据,并假定a=1元,b=0.8,元c=0.75元,为报童提供最佳决策.1．模型假设（1）报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c;报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c；只考虑利润最大，不考虑其他成本因素。（2）报童每天购进报纸n份,每天需求量为r,为随机变量，其概率是f(r).（3）不考虑市场竞争影响。2．模型建立及求解报童每天的收入是随机的，应考虑他长期的日平均收入设为G(n)则：)()()())(()()(10rfnbarfrncbrbanGnrnr通常需求量r和购进量n都相当大，将r视为连续变量，f(r)转化为概率密度函数p(r).上式变为：nndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()])(()[()(nnnndrrpbadrrpcbdrrpbannpbadrrpcbnnpbadndG)()()()()()()()()()()()(00令cbbadrrpdrrpdndGnn)()(:,00得到……………………(*)ncabadrrpdrrp00)(1)(＝，所以＝因为3．模型解释报纸需求量r大致服从正态分布，(*)式的几何意义。(1)当ab=c时,即购进价b与退回价c相等，而零售a大于它们，这时报童不承担任何风险,会造成发行商的损失;(2)a=bc时,报童无利可得,不会从发行商处购进报纸;(3)只有当abc时,报童和发行商均获利。.)(,)(,)()(201021nnnndrrppdrrppcbbadrrpdrrppp令a-b即售出一份赚的钱,b-c即退回一份赔的钱,当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时,他购进的份数应越多(见图7.1)。具体计算：利用MATLAB和表中的数据,求出需求量的平均值为199,标准差为38.7，据正态分布求n当a=1元,b=0.8,元c=0.75元时,n=232。prn1p2p图7.1结果分析第三节花店老板的进货问题某花店对鲜花需求量的概率分布如下：商品数量（百打）012345678概率0.050.10.10.250.20.150.050.050.05每出售百打鲜花，老板可获利250元，若当天不能出售，每百打老板将损失325元，在这种价格和需求结构下，要求确定店主每天进多少百打鲜花方能获取最大利润？这属于一个存贮问题，我们首先根据这一简单模型应用枚举法求解，然后引入边际分析的方法进行讨论，最后给出这一存储问题的一般解法。1.枚举法假设不满足需求时，对店主没有任何损失。由需求量的概率分布中，我们可以计算出需求量的期望值为3.65百打。由此可以排除进货量1或5的可能性，因这样做不如进货2，3，4件那样有利可图（若从这三数字还不能得到最优结果，我们不妨也可检查其余数字）。为此我们定义纯利润为出售的获利中减去因未出售而受的损失的值，负的利润即表示损失的值。由表4.2.1显见，每天进300百打可获最大利润。需求量（百打）概率三种数量的纯利润23400.05-650-975-130010.10-75-400-72530.10500175-15040.2550075042550.20500750100060.15500750100070.05500750100080.05500750100090.055007501000利润期望值385491.25453.752．边际分析边际分析就是人们将利用价格结构方面的信息来检查和判断再多增加一个单位的需求量是否合算。假设已知持有n件商品合理，要求通过分析再增加一件商品所增加的利润和导致的损失，来判断持有1n件商品是否合算。最后增加的单位称边际单位。我们亦定义边际利润（MP）为由增加的那件商品所得的纯利润。类似的可定义边际损失（ML）为由增加的那件商品所导致的损失。最后增加的那件商品出售的概率为)1(nPp需求量（7.3.1）它未被出售的概率为p1。如果边际利润的期望值大于边际损失的期望值，就断定持有n+1件商品是合理的。注意到这时期望值即为价值与相应的概率的乘积。因而我们可把上述条件改写成)()())(1()(MLpMLMLpMPp整理后可得MPMLMLp(7.3.2)由（7.3.1）注意到，概率p是由需求量的概率分布的右尾部给出的（1减去累计分布函数）。有了上述准备，我们再回到我们的花店有MP=250，ML=325于是由(7.3.2)5652.0325250325MLMPMLp即仅当出售概率0.5652时，老板再增加1百打才是合算的。从需求量的概率分布中，我们有75.0)3(需求量p50.0)4(需求量p说明第4个商品出售的概率小于0.5652，即进货量最好是3百打。最后，我们给出边际分析法的步骤：1）确定边际损失2）确定边际利润3）计算比值)(MLMPMLp4）从概率分布上界开始依次逐个计算累计概率，当累计概率超过p时就停止，相应的需求量就是应持有的最优数量。3．一般解法假设每天购进量为n，因为需求量为随机变量，可能大于n、小于n、等于n，从而老板的收入也随机。因而作为优化的目标函数，不能是其每天的收入，而应是其日平均收入即每天收入的期望值记花店老板每天购进n百打花的平均收入为)(nG，需求量为r的概率为)(rf，有nrnrrnfrfrnrnG01)(250)()](325250[)(（4.2.18）则我们的问题归为求n，使)(nG最大把问题中的数值代入，可见当n=3（百打）是可使)3(G达最大，即每天进3百打花可使花店老板获取最大利润。第四节博弈问题设有两人对垒，每人手中各有三种硬币，其分值分别为5分、10分、25分；每次两人各自同时出示一枚硬币，如属同一分值，则该币归第一位局中人所有，否则就属于第二位局中人，最后以得分值多者为胜。问：(1)该游戏对双方是否公平？(2)如不公平，则受益方采取何种策略可稳操胜券，而另一方则如何尽可能输得少些？1．问题分析如果只进行一次或很少几次游戏，则双方都不具有保证稳操胜券的策略。如果运气不佳，双方均有可能每次都输。所有，这里公平性或获胜策略只有在统计意义下讨论才有意义，即需在长期进行游戏或进行较多次游戏的情况下，才有意义讨论该问题。显然，任何一方采取一种有规律的策略，一旦被对方知晓，则必输无疑。所以，双方的策略应是以某种随机的方式选择出示的硬币，而各类硬币的出现概率予以固定。直观地看，该游戏对第一位局中人显然是不公平的。事实上，设iA表示甲取出第i个硬币，iB表示乙取出第i个硬币，W表示甲取胜这一事件则31)(iAP，31)(iBP,3,2,1i91)()()(iiiiBPAPBAP,所以甲嬴的概率31)()(332211BABABAPWP.下面我们试图解决问题(1)和(2)，为双方找到各自的最佳策略。2．问题的解决首先，必须用数学语言清晰地把问题表示出来，这在数学模型的建立过程中是较难也是较关键的一步。如果用A、B、C分别表示分值为5分、10分和25分的硬币，而以(X,Y)表示每次游戏的结果，其中X,Y∈{A,B,C},且X表示第一位局中人（以后简称1P）显示的硬币，Y表示第二位局中人（以后简称2P）显示的硬币。显然，所有可能出现的结果为：(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C).对第一位局中人有利的结果只有(A,A),(B,B),(C,C).假设1P分别以321,,xxx的概率出示A、B、C硬币，而2P则分别以321,,yyy的概率出示A、B、C，当然有1321xxx,1321yyy.假设1P,2P出示硬币都是相互独立的，那么对第一位局中人而言，分值支付矩阵如下：乙甲ABCA5-5-5B-1010-10C-25-2525他每次游戏的期望值为322212312111101010555),(yxyxyxyxyxyxyxE-332313252525yxyxyx,矩阵表示为:TyxyxE252525101010555),(，其中),,,(321xxxxTTyyyy),,(321.显然，作为游戏者，1P希望无论2P采取何种策略，他的期望值E(x,y)尽可能大，而2P则希望E(x,y)尽可能小。因此，对1P希望找到),(minmaxyxEyx(4.3-1)的解。而对2P，希望找到),(maxminyxExy(4.3-2)的解。式(4.3-1)表示在2P采用最佳策略时，1P的最大收益；而式(4.3-2)表示在1P采用最佳策略时，2P的最小损失。本世纪20年代后期，johnVonNeamann在其论文《公司博弈理论》（1928年载于《数学年刊》第100卷P194.4--320）中证明了以下的结论：),(minmaxyxEyx),(maxminyxExy或者，用另一种方式表示：存在*x，*y使对任意x,y有),(),(),(****yxEyxEyxE显然，*x，*y就是两位局中人的最佳策略，（读者思考其中的原因）。因此，现在的问题就是：求*x，*y使),(minmax),(**yxEyxEyx),(maxminyxExy称