第七章空间问题的基本理论

第七章空间问题的基本理论§7-1平衡微分方程图7-1在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于从标轴，而棱边的长度为dzPCdyPBdxPA,,，图7-1。一般而论，应力分量是位置坐标的函数。因此，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。例如，作用在后面的正应力是x，由于坐标x改变了dx作用在前面的正应力应当是dxxxx，余类推。由于所取的六面体是微小的，因而可以认为体力是均匀分布的。首先，以连接六面体前后两中心的直线ab为矩轴，列出力矩的平衡方程0abM：略去微量以后，得zyyz。同样可以得出yxxyxzzx,只是又一次证明了切应力的互等性。其次，以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程0xF，得.0ddddddd)(dddd)d(dddd)d(zyxfyxyxdzzxzxzyyzyzyxxxzxzxzxyxyxyzxxx由其余2个平衡方程，0yF和0zF，可以得出与此相似的2个方程。将这3个方程约简以后，除以zyxddd，得.0,0,0zyzxzzyxyzyyxzxyzxfyxzfxzyfzyx（7-1）这就是空间问题的平衡微分方程。§7-2物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量,,,zyxyxxyxyzxzyyz,,为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，图7-2。当四面体PABC无限减小而趋于P点，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。图7-2CσXnPyτYXτXYσYτYZτXYσXτZXXYZPxPzAB命平面ABC的外法线为n，其方向余弦为nznmynlxn),cos(,),cos(,),cos(。设三角形ABC面积为Sd，则三角形BPC，CPA，APB的面积分别为Sld，Smd，Snd。四面体PABC的体积用Vd代表。三角形ABC上的全应力p在坐标轴上的投影用zyxppp,,代表。根据四面体的平衡条件0xF，得：xyzxyzzyxnlmnlmnnml222222。（7-3）22222nzyxnppp。（7-4）如果在S面上作用面力，则面力和应力的关系式为：.)(,)(,)(zsyzxzzysxyzyyxszxyxxfmlnflnmfnml(在s上)（7-5）其中syzsx)(,,)(是应力分量的边界值。这就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。§7-3主应力最大与最小的应力设经过一点P的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。假设在P点有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为npmplpzyx,,。将式（7-2）代入，即得.,nmlnmlnmlnmlyzxzzxyzyyzxyxx（a）此外还有方向余弦的关系式1222nml。（b）如果将式（a）与（b）联立求解，能够得出nml,,,的一组解答，就得到P点的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。用下述方法求解，比较方便。将式（a）改写为.0)(,0)(,0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx(c)这是nml,,的3个齐次线性方程。因为由式（b）可见nml,,不能全等于零，所以这三个方程的系数的行列式式等于零，即.0zyzxzzyyxyzxyxx用式xyzxyz,,代替yxxzzy,,，将行列式展开，得的三次方程.0)2()()(222223xyzxyzxyyyzxzyxxyyzyxxzzyzyx（7-6）证明：在受力物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。0))()((321。zyx321。1、体内的任意一点，三个互相垂直的面上的正应力之和是不变量（不随坐标系而变的量），并且等于该点的三个主应力之和。2、三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，而三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。3、又可见，在三个主应力相等的特殊情况下，所有各截面上的正应力都相同（也就等于主应力），而切应力都等于零。4、最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应力与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应力并且“平分最大主应力与最小主误码力的夹角”的平面上。§7-4几何方程及物理方程1几何方程现在来考虑空间问题的几何学方面。在空间问题中，形变分量与位移分量应当满足下列六个方程，即空间问题的几何方程：yuxxzuzyzyxuxyzxyzzyx,,,,（7-8）其中的第一式、第二式和第六式已在§2-4中导出，其余三式可用同样的方法导出。此外，在物体的给定约束位移的边界us上，位移分量还应当满足下列三个位移边界条件，即空间问题的位移边界条件：.)(,)(,)(sssuu（在us上）（7-9）此三式的等号左边是位移分量的边界值，等号右边是该边界上的约束位移分量的已知值。2、几个重要概念。设有微小的正平行六面体，其棱边的长度为zyxd,d,d。在变形之前，它的体积是xyxddd；在变形之后，它的体积将成为)dd)(dd)(dd(zzyyxxzyx。因此，它的每单位体积的体积改变，也就是所谓，其公式为.1)1)(1)(1(dddddd)dd)(dd)(dd(zyxyxzzzyzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxx由位移和形变量是微小的假定，可略去线应变的乘积项（更高阶的微量），则上式简化为zyx。（7-10）将几何方程（7-8）中的前三式代入，得zyxu。（7-11）它表明体应变与位移分量之间的简单微分关系。物理方程：.)1(2,)1(2,)1(2)],([1)],([1)],([1xyxyzxzxyzyzyxzzxzyyzyxxEEEEEE（7-14）将上式的三个应变分量相加得：)(21zyxzyxE设)(zyx为一个不变量得空间问题的虎克定律：E21上式的就称为21E称为第五节轴对称问题的基本方程在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于一轴。这就问题称为空间轴对称问题。首先来导出对称问题的平衡微分方程。用相距d的两个圆柱，互成d角的两个沿直面及相距zd的两个水平面，从弹性全割取一个微小六面体PABC，图7-4。沿方向的正应力，称为径向正向应力，用代表；沿方各听正应力，称为环向正应力，用代表；沿z方向的正应力，称为轴向正应力，代然用z代表；作用在圆柱面上而沿z方向作用的切应力用z代表，作用在水平面上而沿方向作用的切应力用z代表。根据切应力的互等性，zz。由于对称性，及zz都不存在。这样，总共只有四个应力分量：zzz,,,，一般都是和z的函数。zzzdzdzzdzzd图7-4将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上，取2dsin及2dcos分别近似地等于2d及1，得平衡方程.0ddddddd)(2ddd2dddd)d)(d(zfzzzzzzzZσρσφτZρτρZσZfρfZφdφyx中得空间轴对称问题的平衡微分方程如下：.0,0zzzzzfzfz（7-15）现在来导出轴对称问题的几何方程。沿方向的线应变，称为径向线应变，用代表；沿方向的线应变，称为环向线应，用代表；沿z方向的线应变，称为轴向线应变，仍然用z代表；方向与z方向之间的直角的改变用z代表。由于对称，及都等于零。沿方向的位移分量称为径向位移，用u代表；沿z方向的位移分量称为轴向位移，用zu代表。由于对称，环向位移0u。通过与§2-4及§4-2中同样的分析，可见，由于径向位移u引起的形变是uuuz,,。将以上两组形变相叠加，得空间轴对称问题的几何方程zzzzuzuzuuu,.,。（7-16）由于柱坐标和直角坐标同样也是正交坐标，所以物理方程基本形式可以直接根据胡克定律得来：.)1(21)],([1)],([1)],([1zzzzzzzEGEEE（7-17）将式（7-17）中的前三式相加，仍然得到E21，其中的体应变为zuuuzz，（7-18）而体积应力为z。（7-19）通过与§7-4中同样的处理，了可以同样地把应力分量用形变分量来表示：.)1(2),21(1),21(1),21(1zzzzEEEE习题7-1将坐标轴旋转到三个主应力方向，则这个与三个主应力相同角度也就成了与三个坐标轴相同角度，即zyx3210yzxzxynml又因为：1222nml所以33nml代入xyzxyzzyxnlmnlmnnml22222232131n7-2代入几何方程应变为常数应力张量标记法321zyx332312322113121zzyzxyzyyxxzxyxij体力321ffff面力321ffff任意面角度nmlL则平衡微分方程0fjij边界条件fLij