第七章第四节垂直关系

1第七章第四节垂直关系题组一线面垂直的判定与性质1.(2010·宣武模拟)若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是()A．a∥β，α⊥βB．aÜβ，α⊥βC．a⊥b，b∥αD．a⊥β，α∥β解析：只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α.答案：D2．(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，ACÜ平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．答案：A3．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．答案：①④题组二平面与平面垂直的判定与性质4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)2解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PCÜ平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)5．在四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点．(1)求证：平面SEF⊥平面ABCD；(2)若平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.解：(1)证明：由SA＝SB，E为AB中点得SE⊥AB.由SC＝SD，F为CD中点得SF⊥DC.又AB∥DC，∴AB⊥SF.又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEF.又∵ABÜ平面ABCD，∴平面SEF⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CDÜ面SCD，∴AB∥平面SCD.又∵平面SAB∩平面SCD＝l，根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l.题组三(文)平面与平面垂直的应用6．如图，α⊥β，α∩β＝AB，CDβ，CD⊥AB，CE，EFÜα，∠FEC＝90°，求证：平面EFD⊥平面DCE.证明：∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EFÜα，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥平面DCE.又EFÜ平面EFD，∴平面EFD⊥平面DCE.7．如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点．(1)试判断四边形的形状，并说明判断理由；3(2)设P点是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请说明理由．解：(1)四边形EFGH是一个矩形，下面给出证明：∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH＝HG，ADÜ面ACD，∴AD∥HG，同理EF∥AD，∴HG∥EF，同理有EH∥FG，∴四边形EFGH是一个平行四边形．又三棱锥A—BCD是一个正三棱锥，∴A点在底面BCD上的射影O点必是△BCD的中心，OD⊥BC，AD⊥BC.∴HG⊥EH，即四边形EFGH是一个矩形．(2)作CP⊥AD于P，连结BP，∵AD⊥BC，BC∩CP=C，∴AD⊥面BCP，∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，又HGÜ面EFGH，∴面BCP⊥面EFGH.在Rt△APC中，∠CAP=∠BAC=30°，AC=a，∴AP=3.2a题组三(理)二面角6.设P是60°的二面角α－l－β内一点，PA⊥α，PB⊥β，A、B分别为垂足，PA＝2，PB＝4，则AB的长是________．解析：如图所示，PA与PB确定平面γ，与l交于点E，则BE⊥l，AE⊥l，∴∠BEA即为二面角的平面角，∴∠BEA=60°，从而∠BPA=120°，∴AB=222cosPAPBAPPBBAP116827.4答案：277．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为4．解：(1)∵AE⊥平面AA1D1D，∴AE⊥A1D，又∵AA1D1D为正方形，∴A1D⊥AD1，∴A1D⊥面AD1E，∴A1D⊥D1E.(2)过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角．设AE=x，则BE=2-x，在Rt△D1DH中，∵∠DHD1=4)，∴DH=1.∵在Rt△ADE中，DE=12x，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=3，在Rt△CBE中，CE=245xx．∴x+3=245xx⇒x=2-3．∴AE=2-3时，二面角D1-EC-D的大小为4．题组四直线、平面垂直的综合问题8.(2010·岳阳模拟)设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是()A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．bÜα，cÚα，若c∥α，则b∥cC．bÜβ，若b⊥α，则β⊥αD．bβ，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a5解析：C选项的逆命题为bÜβ，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面．答案：C9．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列命题中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确．答案：D10．(文)(2009·天津高考改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2\r(2)．(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD.解：(1)证明：设AC∩BD=H，连结EH.在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EHÜ平面BDE且PAÜ平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，ACÜ平面ABCD，所以PD⊥AC.6由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD.(理)(2009·北京高考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．解：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC.又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=12AB.在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=12AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=2,24DEBCADAD即AD与平面PAC所成角的正弦值为24．(3)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AEÜ平面PAC，PEÜ平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.7这时，∠AEP=90°，故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．