第七章第四节计算机算法

第四节计算机计算三相短路电流交流分量初始值的原理实际电力系统短路电流交流分量初始值的计算，由于系统结构复杂，一般均用计算机计算。在上机计算前需要完成两部分工作，一是根据计算原理选择计算用的数学模型和计算方法，即计算用的数学公式；二是根据所选定的数学模型和计算方法编制计算程序。本节将仅介绍基本的数学模型和计算方法。计算短路电流I”，实质上就是求解交流电路的稳态电流，其数学模型也就是网络的线性方程组，一般选用网络节点方程，即用节点阻抗阵或节点导纳阵描述的网络方程。以下将先介绍计算用的等值网络，然后分别给出节点阻抗矩阵和节点导纳矩阵计算短路电流和电网任意时刻处电压及电流的公式。一、等值网络图7－14给出了计算短路电流I（及其分布）的等值网络。在图7－14（a）中G代表发电机端电压节点（如果有必要也可以包括某些大容量的电动机），发电机等值电动势为E，电抗为dx；D代表负荷节点，以恒定阻抗代表负荷；f点为短路点（经fZ短路）。图7－14（b）为应用叠加原理分解成正常运行和故障分量的两个网络，其中正常运行方式的求解必须通过潮流计算求得，故障分量的计算由短路电流计算程序完成。图7－14（c）表示在近似的实用计算中不计负荷的影响时的等值网络。应用叠加原理如图7－14（d）所示，正常运行为空载运行，网络中各点电压均为1，故障分量网络中，.01fU。这里只需作故障分量的计算。由图7－14的故障分量网络可见，这个网络与潮流计算时网络的差别，在于发电机节点多接了对地电抗dx，负荷节点上多接了对地阻抗DZ(实用计算没有此阻抗)。当然，如果在短路计算中可以忽略线路电抗和电纳，而且不计变压器的实际变比，则短路计算网络较潮流计算网络简化，而且网络本身是纯感性的。对于故障分量网络，一般用节点方程来描述，即网络的数学模型或者用节点阻抗矩阵或者用节点导纳矩阵。关于这两种矩阵的形成方法，在第四章中已有详细介绍，这里不再重复。在短路电流计算程序中，这两种矩阵都有采用的，它们各有优缺点。图7－14计算短路电流I等值网络（a）、（b）计及负荷；（c）、（d）不计及负荷二、用节点阻抗矩阵的计算方法任一网络用节点阻抗矩阵表示的节点电压方程为：1111111111ijjiiiijiniijjijjjnjjnninjnnnnZZZZUIZZZZUIZZZZUIZZZZUI（7－27）式中，电压相量为网络各节点对“地“电压；电流相量为网络外部向各节点的注入电流；系数矩阵即节点阻抗矩阵。矩阵对角元素iiZ称为自阻抗，可表达为：0,IjijUiZiiIi（7－28）即当除i节点外所有其它节点注入电流均为零时，i节点电压与注入电流之比，也就是从i点看进网络的等值阻抗，或者说网络对i点的等值阻抗。非对角元素ijZ称为互阻抗，可表示为：0,jijjiIjijiUZZI（7－29）即当除i节点外所有其它节点注入电流均为零时，j节点电压与i节点电流之比，或者说是i节点单位电流在j点引起的电压值。不难理解ijZ是不会为零的，即节点阻抗矩阵总是满阵。如果已形成了图7－14中的故障分量网络（短路支路的阻抗fZ不在内）的节点阻抗矩阵。该网络只有短路点f有注入电流－fI（fI由f点流向“地”）,故节点电压方程为：1111111110()0fnffffnfffffnnfnnnfnZZZZUZZZZIIUZZZZU（7－30）短路点电压故障分量为：ffffUIZ|0|fffUIZ由此可求得短路电流：01ffffffffUIZZZZ（7－31）此式与式（7－23）是一致的。由此可见，若已知节点阻抗矩阵的对角元素，可以方便地求得任一点短路的短路电流。已知短路电流fI后代入式（7－30）可得任一点电压故障分量，则各节点短路后的电压为：1111101000011ffffffffffnnnffnffnnUUUUZIZIUUUZIUUUUZIZI（7－32）任一支路i－j的电流：ijjiijjiijZUUZUUI(7-33)式中，ijZ为i－j支路de阻抗。图7－15示出节点阻抗矩阵计算短路电流的原理框图。从中可以看出，只要形成了节点阻抗矩阵，计算任一点的短路电流和网络中电压、电流的分布是很方便的，计算工作量很小。但是，形成节点阻抗矩阵的工作量较大，网络变化时的修改也比较麻烦，而且节点阻抗矩阵是满阵，需要计算机的存存贮量较大。针对这些问题，可以采用将不计算部分的网络化简等方法。图7－15用节点阻抗矩阵计算短路电流的原理框图三、用节点导纳矩阵的计算方法用节点导纳矩阵表示的网络节点方程为1111111111ijniiiijiniijjijjjnjjnninjnnnnYYYYIUYYYYIUYYYYIUYYYYIU（7-34）式中节点导纳矩阵是节点阻抗矩阵的逆矩阵，对其对角元素自导纳iiY为：0,IiYiiUjiUji(7-35)即除i节点外其它节点均接“地”时，自节点i看进网络的等值导纳，显然等于与i节点相连的支路导纳之和。非对角元素互导纳ijY为：0,IjYYUjiijjiUji(7-36)即除i节点外其它节点均接“地”时，j点注入电流与i点电压之比，显然等于i、j间支路导输入数据形成网络节点阻抗矩阵选择短路点f应用式（7－31）计算fI应用式（7－32）计算任一节点电压应用式（7－33）计算任一支路电流结束纳的负值。由于网络中任一节点一般只和相邻的节点有连接支路，所以ijY有很多为零，即节点导纳矩阵是十分稀疏的。由上可见，节点导纳矩阵极易形成，网络结构变化时也容易修改。（一）应用节点导纳矩阵计算短路电流的原理应用节点导纳矩阵计算短路电流，实质上是先用它计算与短路点f有关的节点阻抗矩阵的第f列元素：1fffnfZZZ，然后即可用式（7－31）（7－33）进行短路电流的有关计算。根据前面对节点阻抗矩阵元素的分析，1fnfZZ是在f点通以单位电流（其它节点电流均为零）时1－n点的电压，故可用式（7－34）求解下列方程：1111111010fnffffnfnnfnnnYYYUYYYfUYYYU点（7－37）求得的1nUU即为1fnfZZ。求解式（7－37）的线性方程组，有现成的计算方法和程序，例如高斯消去法等。一般电力系统短路电流计算要求计算一批节点分别短路时的短路电流，因二要多次求解与（7－37）类似的方程，方程的不同处只在于方程右端的常数向量中1所在的行数（对应短路节点号）不同。为了避免每次重复对节点导纳矩阵作消去运算，一般不采用高斯消去法求解式（7－37），而是应用三角分解法或因子表法，这两种方法实质上是相通的，一下介绍三角分解法。（二）三角分解法求解导纳型节点方程将式(3-20)简写为：YUI（7－38）Y阵是个非奇异的对称矩阵，按照矩阵的三角分解法，Y可表示为：TTYLDLRDR（7－39）式中，D为对角阵，L为单位下三角阵；R为单位上三角阵，L和R互为转置阵。式（7－39）说明Y阵可分解为单位下三角阵，对角阵和单位上三角阵（即单位下三角阵的转置）的乘积。这些因子矩阵元素的表达式为：1122111111(1,2,)1()(1,2,1;1,)1()(2,3,;1,21)iiiiiiikkkiikikkkkiijijkikjkkkiijijikjkkkkjjdYldYrdinrYrrdinjindlijYlldinjid（7－40）式中d、l和r为矩阵D、L和R的相应元素。由于L和R互为转置，只需算出其中一个即可。将式（7－39）代入式（7－38）得：TRDRUI（7－41）式（7－41）可分解为以下得三个方程，并依次求解：TRWIDXWRUX（7－42）即由已知的节点电流向量I求W，由W求X，最后由X求得节点电压向量U。在这三次求解中，系数矩阵为单位三角阵或对角阵，故计算工作量不大。如果将DXW求解过程中的除法运算改为乘法运算，即1XDW(1D的元素为D元素的倒数)则可进一步节约计算时间。综上所述，用三角分解法求得节点导纳矩阵方程包括两部分计算。一是将Y三角分解，保存R和1D，为节省存贮存量，可将1D的元素存放在R的对角元素1的位置上（它实际上就是一种因子表），见下表：11111/1/1/iniiinnndrrdrd另一部分是由已知I用式（7－42）计算得到U，即为对应某短路节点的节点阻抗元素向量。图7－16示出应用节点导纳矩阵计算短路电流的原理框图。图7－16用节点导纳矩阵计算短路电流的原理框图【例7－5】应用计算机算法计算例7－2系统中3点短路电流及各节点电压和各支路电流。解计及输电线路电纳，但不计负荷。以下只给出计算的中间结果，而不给出计算的过程。（1）形成节点导纳矩阵：26.62666610101033.29333310101019.96jjjYjjjjjj（2）形成R和1D即因子表：0.0375560.3755630.3755630.0338550.4656980.102058jjj输入数据形成网络节点导纳矩阵选择短路点f应用式（7－31）计算fI应用式（7－32）计算任一节点电压应用式（7－33）计算任一支路电流结束形成导纳矩阵的R和1D短路点f注入的单位电流时应用R和1D解各点电压及1fnfZZ（3）取001I，即节点3注入单位电流，利用上述因子进行运算，求电压向量即第3点的自阻抗和互阻抗：1122331000.3755631000.3755630.4656981111230.037556000.033855000.10205810.102058XjXjXjj11122223333310.3755630.37556300.05617910.46569800.04752810.1020580.102058UUZjUUZjUjUZj（4）3点短路时短路电流：19.7983500.102058fIjj（5）各点电压：.1.210.056179(9.798350)0.44953810.047528(9.798350)0.534304UjjUjj（6）线路中故障电流：.21.13.230.5343040.4495388476550.10.4495384.4953850.10.5343045.3430400.1IjjIjjIjj与例7－2结果比较可知，略去线路电纳的误差在1％以内。四、短路点在线路上任意处的计算若短路不是发生在网络原有节点上，而是如图7－17所示，发生在线路的任意点上，则网络增加了一个节点，其阻抗矩阵（和导纳矩阵）增加了一阶，即与f点有关的一列和一行元素。显然，采取重新形成网络矩阵的方法是不可取的，以下介绍利用原网络阻抗阵中j和k两行元素直接计算与f点有关的一列阻抗元素（1f