圆的切点弦方程的九种求法-高中数学

1圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。一、预备知识：1、在标准方程222)()rbyax（下过圆上一点),00yxP（的切线方程为：200))(())rbybyaxax（（；在一般方程022FEyDxyx（0422FED）下过圆上一点),00yxP（的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx。2、两相交圆011122FyExDyx（0412121FED）与022222FyExDyx（0422222FED）的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121FFyEExDD。3、过圆022FEyDxyx（0422FED）外一点),11yxP（作圆的切线，其切线长公式为：FEyDxyxPA112121||。4、过圆022FEyDxyx（0422FED）外一点),11yxP（作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：211))(())rbybyaxax（（（在圆的标准方程下的形式）；0221111FyyExxDyyxx（在圆的一般方程下的形式）。二、题目已知圆044222yxyx外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：)]4([)1(xky即014kykx由044201422yxyxkykx消去y并整理得xyABCOPH图图120)12416()268()1(2222kkxkkxk①令0)12416)(1(4)268(2222kkkkk②解②得0k或815k将0k或815k分别代入①解得1x、1728x从而可得A(1728,1758)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：0235yx。解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：)]4([)1(xky即014kykx由圆心C(1,2)到切线014kykx的距离等于圆的半径3，得3)1(|1421|22kkk③解③得0k或815k所以切线PA、PB的方程分别为：052815yx和1y从而可得切点A(1728,1758)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：0235yx。解法三：用夹角公式求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k，根据已知条件可得|PC|=34)]1(2[)]4(1[22，3r，53)4(1)1(2PCk在PACRt中，|PA|=5，53CPAtg由夹角公式，得5353153kk④解④得0k或815k所以切线PA、PB的方程分别为：052815yx和1y从而可得切点A(1728,1758)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：0235yx。解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点3如图示1，根据已知条件可得|PC|=34)]1(2[)]4(1[22，3r，53)4(1)1(2PCk在PACRt中，|PA|=5，AHPC，从而可得925HCPH由定比分点公式，得H(3411,3441)又因为351PCABkk再根据点斜式方程得直线AB的方程为：0235yx。解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经过以P为圆心|PA|为半径的圆C`与圆044222yxyx的交点的直线，由切线长公式得|PA|=54)1(4)4(2)1()422（所以圆C`的方程为082822yxyx根据两圆的公共弦所在的直线方程，得0235yx即直线AB的方程为：0235yx。解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二如图示3，因为PACA，PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为0)2()]1([)1()]4([yyxx即06322yxyx根据两圆的公共弦所在的直线方程，得0235yx即直线AB的方程为：0235yx。解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义设切点A、B的坐标分别为),(11yx、),(22yx，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为0424221111yyxxyyxx和0424222222yyxxyyxx因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得023502352211yxyx⑤由式⑤知，直线0235yx经过两点A),(11yx、B),(22yx，所以，直线AB的方程为：0235yx。解法八：直接运用圆的切点弦方程xyABCOPH图图2xyABCOPHC1图图34因为P（-4，-1）是圆044222yxyx外一点，根据切点弦所在直线的方程0221111FyyExxDyyxx得0421424214）（）（）（yxyx整理得，直线AB的方程为：0235yx。解法九：运用参数方程的有关知识如图4，将圆的普通方程044222yxyx化为参数方程：sin32cos31yx（其中为参数）设切点A的坐标为（cos31，sin32），由PACA得11)cos31(2)sin32()4()cos31()1()sin32(化简，整理得03sin3cos5⑥又因为53)4(1)1(2PCk351PCABkk可设直线AB的方程为035cyx，将点A（cos31，sin32）代入并整理，得0311sin3cos5c⑦由式⑥和⑦知，3311c，从而得2c所以，直线AB的方程为：0235yxxyOCBAP图图4