第七节高阶线性微分方程

第七节高阶线性微分方程教学目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。教学重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。教学难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。教学内容：一、二阶线性微分方程举例例1设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹簧力大小相等、方向相反，这个位置就是物体的平衡位置。取x轴沿铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。如果使物体具有一个初始速度00v，那末物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动，在振动过程中，物体的位置x随时间t变化，即x是t的函数：xxt。要确定物体的振动规律，就要求出函数xxt。由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置弹性恢复力f（它不包括在平衡位置时和重力mg相平衡的那一部分弹性力）和物体离开平衡位置的位移x成正比例：fcx其中c为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体位移的方向相反。另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质（如空气/油等）的阻力的作用，使得振动逐渐趋向停止。由实验知道，阻力R的方向总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为，则有dxRdt根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得22dxdxmcxdtdt移项，并记2nm，2ckm则上式化为22220dxdxnkxdtdt（1）这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程。如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力sinFHpt的作用，则有2222sindxdxnkxhptdtdt（2）其中Hhm，这就是强迫振动的微分方程。例2设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串联组成的电路,其中R,L,C为常数,sin,mEEt求电容器两两极板间电压cu所满足的微分方程.设电路中电流为i(t),极板上的电量为q(t),自感电动势为,LE由电学知dd,,ddCLqqiiuELtCt根据回路电压定律：在闭合回路中,所有支路上的电压降为0d0diqELRitC即22ddsinddCCCmuuLCRCuEttt01,2RLLC令串联电路的振荡方程:2202dd2sinddCCmCuuEutttLC如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得2202dd20ddCCCuuutt二、线性微分方程的解的结构1、定义：方程22()()()dydyPxQxyfxdxdx(1)称为二阶线性微分方程。当()0fx时称为齐次的，当()0fx时称为非齐次的。为求解方程（1）需讨论其解的性质2、解的性质22()()0dydyPxQxydxdx（2）定理1若12(),()yxyx是（2）的解，则1122()()yCyxCyx也是（2）的解，其中1C，2C为任意常数。称性质1为解的叠加原理。但此解未必是通解，若12()3()yxyx，则1212()(3)()yxCCyx，那么1122()()CyxCyx何时成为通解？只有当1y与2y线性无关时。线性相关设12,,,nyyy是定义在区间I内的函数，若存在不全为零的数12,,,nkkk使得11220nnkykyky恒成立，则称12,,,nyyy线性相关。线性无关不是线性相关。如：221,cos,sinxx线性相关，21,,xx线性无关。对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时，线性无关。定理2若12(),()yxyx是（2）的两个线性无关的特解，那么1122()()yCyxCyx（1C，2C为任意常数）是方程（2）的通解。此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。例如，方程0yy是二阶齐次线性方程（这里0,()1pxQx），容易验证，1cosyx与2sinyx是所给方程的两个解，且21sintancosyxxyx常数，即它们是线性无关的。因此方程yy0的通解为12yCcosxCsinx又如，方程01yyxyx也是二阶齐次线性方程(这里11,1xxQxxxP)，容易验证xy1，xey2是所给方程的两个解，且常数xeyyx12，即它们是线性无关的。因此方程的通解为xeCxCy21推论.12,,,nyyy若是n阶齐次方程()(1)11()()()0nnnnyaxyaxyaxy的n个线性无关解,则方程的通解为111(,,)nnnyCyCyCC为任意常数下面讨论二阶非齐次线性方程（5）。我们把方程（6）叫做与非齐次方程（5）对应的齐次方程。在第四节中我们已经看到，一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解；另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。定理3设*y是（1）的特解，Y是（2）的通解，则*yYy是（1）的通解。证把（8）式代入方程（5）的左端，得***yYxQyYxPyY***yxQyxPyYxQYxPY由于Y是方程（6）得解，*y是（5）的解，可知第一个括号内的表达式恒等于零，第二个恒等于xf，这样，*yYy使（5）的两端恒等，即（8）式是方程（5）的解。由于对应的齐次方程（6）的通解2211yCyCY中含有两个任意常数，所以*yYy中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（5）的通解。如：2xyy，12cossinyCxCx为0yy的通解，又22xy是特解，则12cossinyCxCx的通解。定理4设（5）式中12()()()fxfxfx，若21,yy分别是212()()()dydyPxQxyfxdxdx，222()()()dydyPxQxyfxdxdx的特解，则21yy为原方程的特解。证将*2*1yyy代入方程（9）的左端，得*2*1*2*1*2*1yyxQyyxPyy＝*2*2*2*1*1*1yxQyxPyyxQyxPy＝xfxf21因此*2*1yy是方程（9）的一个特解。这一定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理。三、常数变异法对二阶非齐次方程()()()yPxyQxyfx已知对应齐次方程通解:1122()()yCyxCyx设()()()yPxyQxyfx的解为1122()()()()yyxvxyxvx由于有两个待定函数,所以要建立两个方程1122yyvyv1122yvyv12,,yvv为使中不含令11220yvyv于是11221122yyvyvyvyv将以上结果代入方程()()()yPxyQxyfx1122yvyv1111()yPyQyv2222()()yPyQyvfx得1122()yvyvfx12,,yy因线性无关故12120yyWyy于是得122111,vyfvyfWW积分得111222(),()vCgxvCgx非齐次方程的通解11221122()()yCyCyygxygx例3已知方程(1)0xyxyy通解为12,xYCxCe求2(1)(1)xyxyyx的通解.解将所给方程化为:1111xyyyxxx12()(),xyxvxevx令建立方程组:121201xxxvevvevx121,,xvvxe解得积分得1122,(1)xvCxvCxe故所求通解为212(1)xyCxCexx212(1)xCxCex仅知齐次方程的一个非零特解1().yx1()(),yuxyx令代入化简得111111(2)()yuyPyuyPyQyufzu令则111(2)yzyPyzf设其通解为2()()zCZxzx积分得12()()uCCUxux由此得原方程③的通解:11211()()()()()yCyxCUxyxuxyx例4已知1()xyxe是齐次方程20yyy的解，求非齐次方程12xyyyex的通解解令xyeu，则(),(2)xxyeuuyeuuu代入非齐次方程，得1(2)2()xxxxeuuueuueuex即1xxeuex，1ux所以12lnuCCxxx故所求通解为12lnxxxyCeCxexex小结与思考：本节讲述了二阶线性方程解的结构，包括齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。叠加原理是线性问题区别于非线性问题的根本特征，如何将叠加原理应用于其它线性问题，能举例说明吗？二阶线性微分方程的结果如何延伸到高阶线性微分方程？作业：作业见作业本