第七讲n维向量与线性相关性

n维向量与向量组的线性相关性1.n维向量（1）n维向量的定义：n个数naaa,,,21所组成的有序数组naaa21或naaa,,,21称为n维向量，简称向量。向量一般用希腊字母,,等来表示naaa21称为列向量，nTaaa,,,21称为行向量数naaa,,,21称为向量的n个分量，第i个数ia称为第i个分量。分量全是实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向量。（2）向量的相等：两个向量naaa,,,21与nbbb,,,21对应的分量都相等，即iiba（3）向量的加法与数乘：向量nnbababa,,,2211称为与的和，记为向量nkakaka,,,21称为与k的数量乘积，记为knaaa,,,21称为的负向量，利用负向量可定义向量的减法)(（4）向量加法与数乘的性质①=②)()(③00④0)(⑤kkk)(⑥kklk)(⑦)()(kllk⑧1⑨0000k⑩如果000kk，那么且例1设)0,4,3(),1,1,0(),0,1,1(321，求32123解：32123=（0,1,2）2.向量组的线性相关性（1）向量组的定义：若干个同维数的行向量（或者列向量）所组成的集合叫做行（列）向量组例如一个nm矩阵A=nmija)(有n个m维列向量，称n,,,21为矩阵A的列向量组mjjjjaaa21（nj,,2,1）反之，n个m维列向量n,,,21构成一个nm矩阵AA=（n,,,21）也可说nm矩阵A=nmija)(有m个n维行向量，称为矩阵A的行向量组前两章中常把线性方程组写成矩阵形式bAx现把方程组写成向量形式mmxxx2211可见方程组与增广矩阵（)A的列向量组m,,,21，之间也有一一对应关系。(2)线性组合：①给定向量组A：m,,,21，对于任何一组实数，称向量mmkkk2211为向量组A的一个线性组合，mkkk,,,21称为这个线性组合的系数。②给定向量组A：m,,,21和向量，如果存在一组数m,,,21，使得=mm2211则称向量是向量组A的线性组合，称向量可以由向量组A线性表示说明：向量可以由向量组A线性表示，也就是方程组mmxxx2211有解。注：任何一个n维向量naaa,,,21都是n维向量组)1,0,0(),0,1,0(,0,0,121n的线性组合。零向量是任何一组向量的线性组合向量组中的任一向量都可由此向量组线性表示（3）定理：向量能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=（m,,,21）的秩等于矩阵)(A=),,,,(21m的秩。（4）线性相关与线性无关：给定向量组A：m,,,21，如果存在不全为零的一组数mkkk,,,21，使得02211mmkkk则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关。说明：向量组A：m,,,21线性相关表示以m,,,21为列向量的矩阵A=（m,,,21）作为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0（即02211mmxxx）有非零解，而线性无关表示只有零解①一个向量线性相关的充要条件是此向量为零向量。任意一个非零向量线性无关。②任意包含零向量的向量组线性相关。③向量组的部分向量组线性相关，则向量组线性相关。④向量组线性无关，部分组线性无关。⑤n维向量组)1,0,0(),0,1,0(,0,0,121n线性无关；称为基本单位向量组。⑥两个向量线性相关的充要条件是成比例。（5）线性相关的充要条件：m维列向量组n,,21线性相关的充要条件是：以n,,21为列向量的矩阵的秩小于向量的个数n。推论1：m维列向量组n,,21线性无关的充要条件是：以n,,21为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n。推论2：由n个n维向量n,,21组成的向量组线性相关的充要条件是以n,,21为列向量的矩阵的行列式等于0.推论3：当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关。3.线性相关性的定理（1）定理1：向量组s,,21线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量是其余1s个向量的线性组合。（2）定理2：设A是一个n阶方阵，则A的行（列）向量组线性相关的充要条件是0A(3)定理3：在r维向量组s,,21的各向量中，添上rn个分量变成n维向量组s,,21①如果s,,21线性相关，那么s,,21也线性相关；②如果s,,21线性无关，那么s,,21也线性无关。证明：对列向量来证明定理，设121),,(As2121),,(AAs,若s,,21线性相关，就有一个非零的向量1SX,使0),,(212121XAXAXAAXs从而0),,(121XAXs(4)定理4：n阶方阵A可逆的充要条件是A的行（列）向量组线性无关。例2讨论下列矩阵的行（列）向量组的线性相关性：102120231;343122321CB解：由于2B,所以B的行（列）向量组的线性相关；0C,所以C的行（列）向量组的线性无关。(5)定理5：设向量组A：m,,,21线性无关，而向量组B：,,,,21m线性相关，则向量必能由向量组A：m,,,21线性表示，且表示式是唯一的证明：由于,,,,21m线性相关，就有不全为零的数kkkkm,,,,21，使02211kkkkmm由m,,,21线性无关，可以知道0k，因此mmkkkkkk2211即可由向量组m,,,21线性表示再证表示式是唯一的，若有两个表示式mmmmhhhlll22112211，则有0)()()(222111mmmhlhlhl，由m,,,21线性无关，可以得到mmhlhlhl,,2211，因此表示式是唯一的。小结与提问：小结：1.n维向量的概念，向量组线性相关、线性无关的定义2.向量组线性相关、线性无关的重要定理课外作业：86P4.