第三十章反比例函数教材分析

1第三十章反比例函数教材分析一、教学目标1．经历从实际问题情境建立反比例函数模型、探索反比例函数性质及应用反比例函数解决某些问题的过程．2．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．3．能画出反比例函数的图像，根据图像和解析表达式探索并理解其性质，进一步体会数形结合的思想方法，发展现察、分析、归纳和概括的能力．4．能用反比例函数表示两个变量间的关系，并能解决某些实际问题．通过经历“问题情境——建立数学模型——解释与应用”的过程，体会数学的价值，增强学好数学的信心．二、教科书设计说明1．本章的内容及其地位和作用．本章内容包括：反比例函数的概念、反比例函数的图像、反比例函数的性质以及反比例函数韵应用．对函数的认识需经历由浅入深、螺旋上升的过程．本章是在第二十一章对函数进行初步认识的基础上，借助于第二十三章研究一次函数的经验和方法，较系境地研究反比例函数的模型、图像、性质及应用的．通过本章的学习．可使学生提高对函数模型的进一步认识和理解，加深对数形结合思想方法的进一步体会，同时，也可增强学生用函数的观点对其他学科部分内容的进一步认识，为研究二次函数奠定基础．2．本章内容在计设上突出了以下特点；（1）突出了反比例函数模型的建立过程．反比例函数模型的建立，不是从形式上进行简单的抽象和概括，而是对这些实例从不同角度抽象出本质属性后，再进行概括．因此，本章设置了三个问题情境，可使学生在探究函数关系、写表达式、求函数值以及观察变化规律的过程中，体会这些函数关系的共同特征，再概括出反比例函数的模型．这样不仅有利于理解反比例函数的概念，也为画反比例函数的图像、探索反比例函数的性质作了充分的铺垫．（2）综合运用函数的三种表示方法来探索反比例函数的性质．本章不仅注意从图像上观察函数的变化规律，而且注意运用表格和表达式发现函数的变化规律．这不仅从整体上探索并理解了反比例函数的性质，而且可以使学生进一步感受函数三种表示方法的内在联系，也进一步体现了数形结合的价值．（3）在反比例函数的应用中，注意函数观念的形成．本章的一些实际问题，运用前面所学知识和其他学科知识也可以解决，但本章不是对这些内容的重复，而是从函数（变量）的角度去观察、发现数量关系，从而解决问题，即从函数的角度建立数学模型，借助于函数图像更直观、更简捷地解决问题．这可使学生认识到反比例函数的模型作用，增强应用童识，培养应用能力，有利于形成函数的观念．三、教学活动建议1．充分经历建立反比例函数模割的过程．反比例函数模型的建立是在一个个活动中，经过对情境理解、本质抽象的积累而形成的．让学生对一类问题情境中两个变量间的关系，在充分经历求表达式、计算函数值和观察函数随自变量变化规律的过程中，逐步概括形成反比例函数的模型．因此，不要把这些活动看成可有可无的点缀，而只关注得出表达式和从形式上建立反比例函数的模型．针对教学实际，还可以选取更贴近学生现实、更有价值的实例作为问题情境．22．反比例函数的性质应提前渗透、逐步探索．反比例函数的性质是对反比例函数本质的认识，应在建立反比例函数模型，画反比例函数图像的过程中，通过确定画数自变量的取值范围、计算函数与自变量的对应值、从表格中观察函数的变化规律以及判断函数图像与坐标轴是否有交点的活动中提前有意识地进行渗透，再通过观察图像进行归纳概括．这样，既加深了对反比例函数概念的理解，又克服了集中探索的困难．3．注重反比例函数的应用，增强应用意识．教科书中一些其他学科的问属，不是对这些内容的简单重复，不是从常量的角度进行研究、单纯进行公式的变形，而是把这些量视为变量，从两个变量的相依关系和变化规律的角度，建立反比例函敷的模型，借助于反比例函数图像的新视角来解决问题，以增强数学应用的意识．4．关注学生已有的知识经验．反比例函数在第五章、第二十章都已有所体现和渗透，教学中可借助于这些例子，增强对反比例函数的感受，使背景更为充实．反比例函数和一次函数都是两类具体的函数，其研究方法大致相同，教学中应借助于研究一次画数的经验和方法，对反比例函数进行研究．四、课时安排建议30.1反比例函数l课时30.2反比例函数的图像和性质2谭时30.3反比例函数的应用1课时回顾与反思1课时合计5课时五、评价建议1．对反比例函数概念，画反比例函数图像、反比例函数性质等知识技能的评价，要结合具体情境进行，看学生能否从具体情境中发现并抽象出反比例函数关系，能否画出一个具体的反比例函数图像，能否指出具体函数的性质．避免机械记忆和简单模仿．2．对建立反比例函数模型，探索反比例函数性质等数学思考的评价，不要只关注概括的结果是否准确，更要关注是否进行了思考和发现了反比例函数的本质，能否用反比例函数表示两变量间的关系和变化规律，能否在交流中获益．3．对解决问题的评价，应关注从实际问题中建立反比例函数模型，并借助于图像解决问题的意识和能力的评价．4．对情感与态度的评价，应关注学生在活动中的表现，如是否积极参与小组的讨论，是否主动与同伴进行合作，是否有独到见解等，都要及时给予评价，以肯定和鼓励的方式为主，使学生经常保持一种主动、积极的学习状态．330.1反比例函数教学建议本节课组织学生经历下面的两个活动过程：一是通过“做一做”，体会三个问题情境所含函数关系的特征；二是通过“大家谈谈”，归纳、概括出三个函数的共同特征，建立反比例函数模型。为此，建议教学活动如下：1．对于“做一做”的活动，应分三个层次：一是写出函数表达式，从形式上体会函数关系；二是根据函数表达式求对应值，从数值上体会函数关系；三是观察表格中数值的变化规律，从两个变量的变化规律上体会函数关系。这是抽象、概括三个函数共同特征，建立反比例函数模型的重要环节。因此，这个活动应由学生独立完成或小组合作完成，教师参与其中并给予及时的引导，不要直接讲解或让少数学生代替多数学生的活动。2．对于“大家谈谈”的活动，教师应鼓励学生从不同角度、以不同的学习形式展开思考，抽象出这几个函数表示式的共同特征。学生可能得到“这些函数表达式的形式是y=xk，其中k是大于0的常数”“当自变量增大时，函数的值减小”“自变量与函数（因变量）的积等于常数”等结论，即使有些结论语反比例函数的概念有些差异，但对建立、理解反比例函数模型是有重要意义的，应予以鼓励和引导。对于-3y=x，它具有y=xk的形式，只是k小于0，让学生具出这种特征的函数关系实例是对所抽象出共同特征的进一步理解，同时，也为形成反比例函数的概念提供了丰富的背景，应鼓励学生多举一些类似的例子。3．在形成反比例函数的概念后，要引导学生从实际意义和解析表达式等不同角度确定自变量的取值范围。引导学生认识到反比例函数的常数k，不仅可以取正数，还可以取负数；变量x，v既可以取正数，也可以取负数。30.1反比例函数教学设计教学设计思想数学教育的目的之一是帮助学生认识数学，数学与现实世界有着密切的联系，而且数学的发展是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程，因此，学生在获得知识的同时，也应该养成尊重客观事实的态度，勇于探索的精神以及独立思考与人合作交流的习惯。小学学习过反比例关系的知识，现在的物理、化学等学科中也有许多反比比例的实例。因此本课设计从实例中抽象出数学模型，让学生充分经历建立反比例函数模型的过程。学生可以从比较简单的实例中，抽象出这类函数的特点，形成反比例函数的概念。教学目标知识与技能：1．会判断一个函数是否是反比例函数；2．结合具体问题情境体会反比例函数的意义，能求出具体问题情境中反比例函数的表达式。过程与方法：41．从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的关系，加深对函数概念的理解；2．经历抽象反比例函数概念的过程，令辉反比例函数的意义。情感态度价值观：1．认识到数学知识是有联系的，逐步感受数学内容的系统性；2．发展从不同的角度看待同一数学问题，综合运用不同的知识和方法解决问题。教学重难点重点：理解和领会反比例函数的概念难点：领悟反比例函数的概念解决办法：从现实情意和所学的知识入手，探索两个变量之间的相依关系教学方法小组合作、探究式教学媒体多媒体课时安排1课时教学过程设计一、复习引入1．什么叫一次函数？什么叫正比例函数？它与算术中的正比例有怎样的关系？2．在上一学段，我们研究了现实生活中成反比例的两个量，如：路程（s）一定，速度（v）与时间（t）成反比例，表达式：vts矩形的面积（s）一定，长（a）与宽（b）反比例，表达式：abs下面我就来一起研究有这种关系的两个变量之间构成的函数关系——反比例函数。二、做一做1．自行车运动员在长为10000m的路段上骑车训练，行驶全程所用时间为ts，行使的平均速度为vm/s。（1）写出用v表示t的函数表达式。（2）当行驶的平均速度分别为8m/s，10/s，12.5m/s时，行驶全程所用的时间各为多少？学生活动：独自写出函数表达式，从形式与体会函数关系。2．一个物体对桌面的压力为450N，受力面积为Sm2，压强为pPa。（1）写出用S表示p的函数表达式。（2）根据写出的函数表达式，填写下表5S1020304050p（3）观察上表，当S增大时，p是增大还是减小？学生活动：学生独立完成，写出函数表达式并填表，观察表格中数值的变化规律，从两个变量的变化规律上体会函数关系。3．已知△ABC的面积为20cm2，底边为acm，高为hcm。（1）写出用h表示a的函数表达式。（2）根据写出的函数表达式，填写下表h246810a（3）观察上表，当h增大时，a是怎样变化的？三、大家谈谈刚才我们列出的三个函数表达式分别为1000045040t,p,avSh，请同学们仔细观察这些表达式有哪些共同特征？学生小组讨论，总结规律，教师根据学生回答给予鼓励和引导。都可以写成kyx的形式（其中x，y是变量，k是不等于0的常数）。我们再看例子：两个变量x和y的乘积等于－3，用函数关系式表示出来的式子具备上述特征吗？变量x和y之间的关系是什么？学生得出：两个变量的乘积等于非零常数。你还能举出具有这种函数关系的实例吗？教师总结并和学生一起探索出反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成：xky（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。强调在理解概念时要注意：①常数k≠0；②自变量x既可以取正值，也可以取负值，但不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当xky可写为1kxy时注意x的指数为—1。④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了。四、练习1．课本P9362．一个矩形的面积为202cm，相邻的两条边长分别为Xcm，Ycm,那么变量Y是变量X的函数吗？是反比例函数吗？为什么？3．某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？五、总结、提高。（结合板书小结）今天通过生活中的例子，探索学习了反比例函数的概念，我们要掌握反比例函数是针对两种变化量，并且这两个变化的量可以写成xky（k为常数，K≠0）同时要注意几点：：①常数K≠0；②自变量x不能为零（因为分母为0时，该式没意义）；③当xky可写为1kxy时注意x的指数为—1。④由定义不难看出，k可以从两个变量相对应的任意一对对应值的积来求得，只要k确定了，这个函数就确定了。六、板书设计反比例函数1．定义自由空间练习2．注意：①（供教学过程演练）②③④730.2反比例函数的图像和性质教材说明本节课讲述内容为《反比例函数》的第二节，这节是这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图像和性质的过程。第一课时讲解反比例函数的图像，要让学生经理列表、描点、画图的过程，并通过函数自变量的取值范围、计算函数与自变量的对应值、从表格中观察函数的变化规律以及判断函数图像与坐标轴是否有交点的活动提前渗透反比例函数的性质，为学生下一节课的学习打下基础。第二课时引导学生从操作、观察、概括和交流这些数学活动中得到