第三章三角恒等变换有详解答案312两角和与差的正弦余弦正切公式(一)

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课时目标1.在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明．1．两角和与差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝__________________.C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________.2．两角和与差的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________.S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________.3．两角互余或互补(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与__________互余，π6＋α与________互余．(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与______________互补，____________与23π－α互补．一、选择题1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.322．sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是()A．－32B．－12C.12D.323．若锐角α、β满足cosα＝45，cos(α＋β)＝35，则sinβ的值是()A.1725B.35C.725D.154．已知cosαcosβ－sinαsinβ＝0，那么sinαcosβ＋cosαsinβ的值为()A．－1B．0C．1D．±15．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤xπ2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C．1＋3D．2＋36．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sinC＝2cosAsinB，则三角形ABC一定是()A．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．化简sinπ6＋α＋cosπ3＋α的结果是________．8．函数f(x)＝sinx－cosx的最大值为________．9．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tanαtanβ的值是__________．10．式子sin68°－cos60°sin8°cos68°＋sin60°sin8°的值是________．三、解答题11．已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．12．证明：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.能力提升13．已知sinα＋cosα－π6＝435，则sinα＋7π6的值是________．14．求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin3π2－α＝sin3π2cosα－cos3π2sinα＝－cosα.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)答案知识梳理1．cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ2．sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ3．(1)π2π4＋απ3－α(2)π34π－αα＋π3作业设计1．A2．B[原式＝－sin65°sin55°＋sin25°sin35°＝－cos25°cos35°＋sin25°sin35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos60°＝－12.]3．C[∵cosα＝45，cos(α＋β)＝35，∴sinα＝35，sin(α＋β)＝45.∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝45×45－35×35＝725.]4．D[cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝kπ＋π2，k∈Z，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝±1.]5．B[f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2(12cosx＋32sinx)＝2sin(x＋π6)，∵0≤xπ2，∴π6≤x＋π62π3.∴f(x)max＝2.]6．C[∵sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB∴sinAcosB－cosAsinB＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]7．cosα解析原式＝sinπ6cosα＋cosπ6sinα＋cosπ3cosα－sinπ3sinα＝cosα.8.2解析f(x)＝sinx－cosx＝222sinx－22cosx＝2sinxcosπ4－cosxsinπ4＝2sinx－π4.9.137解析sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝23，sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ＝15，∴sinαcosβ＝1330cosαsinβ＝730，∴tanαtanβ＝sinαcosβcosαsinβ＝137.10.3解析原式＝sin60°＋8°－cos60°sin8°cos60°＋8°＋sin60°sin8°＝sin60°cos8°＋cos60°sin8°－cos60°sin8°cos60°cos8°－sin60°sin8°＋sin60°sin8°＝sin60°cos8°cos60°cos8°＝tan60°＝3.11．解因为π2βα3π4，所以0α－βπ4，πα＋β3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－－352＝－45.所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×－45＋1213×－35＝－5665.12．证明sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sin2α＋β－2sinαcosα＋βsinα＝sin[α＋β＋α]－2sinαcosα＋βsinα＝sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2sinαcosα＋βsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sinβsinα.13．－45解析sinα＋cosα－π6＝sinα＋cosαcosπ6＋sinαsinπ6＝32sinα＋32cosα＝332sinα＋12cosα＝3sinαcosπ6＋cosαsinπ6＝3sinα＋π6＝435.∴sinα＋π6＝45.∴sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.14．解设sinx＋cosx＝t，则t＝sinx＋cosx＝222sinx＋22cosx＝2sinx＋π4，∴t∈[－2，2]，∴sinx·cosx＝sinx＋cosx2－12＝t2－12.∴f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx即g(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1，t∈[－2，2]．当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1.此时，由sinx＋π4＝－22，解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－π2，k∈Z.当t＝2，即sinx＋cosx＝2时，f(x)max＝2＋12.此时，由2sinx＋π4＝2，sinx＋π4＝1.解得x＝2kπ＋π4，k∈Z.综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－π2，k∈Z时，f(x)取最小值且f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋π4，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2＋12.