第三章代数方程SECTION3

§3代数方程的特殊解法阿贝耳证明了五次及更高次的一般方程没有代数解法.可是阿贝耳定理并没有回答这个问题：每个给定的具体方程有没有代数解法.伽罗瓦证明了：存在用代数方法不能解的具体整系数代数方程.例如x5－x+1=0伽罗瓦还找出方程能用根式求解的充分必要条件.1.求有理根根据上一节中“整根与有理根”的性质，可以求某些具体方程的有理根.例求方程0223223xxx的有理根.解因为该方程的有理根qp的p和q都是2的约数，所以它们是1，－1，2和－2.因此qp的可能值为1，－1，，，－21212和－2.用综合除法(见§2，一)检验：1)2－322－1)2－3222－11－25－72－1132－57－5)212－322)212－3221－121－12－22－212122－440所以21为已知方程的一个有理根.原式除以21x,得商式04422xx即0222xx塔顶判别式4－80，它的两个根是一对共轭复根.因此原方程只有一个有理根21.2.解三项方程形如au2n+bun+c=0的方程称为三项方程，其中a,b,c,n都不等于零,n为整数.它可用根式解.令un=x，得二次方程ax2+bx+c=0.例解方程034124uu解令xu21,则得0342xx，它的根是1x和3x.从xu21得xu1.所以31,1uu.代入原方程检验，可知这四个数是方程的根.3.解倒数方程形如axn+bxn－1+cxn－2++cx2+bx+a=0（其中xn-k和xk项的系数相同）的方程称为倒数方程.倒数方程的任一根不等于零.1°偶数次(n=2k)倒数方程两边除以xk，再令z=x+x1，则原方程可化为z的k次方程，解此方程，得z的值，然后对应的x值可由二次方程x2－zx+1=0求出.2°解奇数次(n=2k+1)倒数方程归结为解偶数次倒数方程.例解方程0251313522345xxxxx解11x为原方程的一个根，把方程除以1x,得4次倒数方程：0231632234xxxx＋把它除以2x,然后并项，得016131222xxxx令xxz1,则22112222zxxxx＝,从而上式变为0203201632222zzzz即由此得25,421zz.因而有确定x的两个方程：042xx和02522xx由此得21,2,32543,2xxx4.解二项方程形如xn－A=0的方程称为二项方程.它的n个根就是复数A的n次方根.如果把A写为A=r(cosθ+isinθ)则方程xn－A=0的n个根是nkninknrn2sin2cos(k=0,1,2,,n－1)几何说明：复平面上与数r(cosθ+isinθ)的n次方根对应的点是一个正n边形的顶点，这些顶点在以原点为中心，以nr为半径的圆上.而这个n边形的顶点之一有辐角n.图3.1表示n=6的情形.若A=1，则xn=1的解ξ称为n次单位根.n个n次单位根为cosnk2+isinnk2(k=0,1,2,,n－1)图3.1如果ξ是其中一个n次单位根，那末n个n次单位根是1,ξ,ξ2,,ξn－1，它们在几何上表示为单位圆的一个内接正n边形的顶点.