椭圆经典例题答案版

1椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0，2）求m的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m的值．解：方程变形为12622myx．因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m．又2c，所以2262m，5m适合．故5m．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax．由椭圆过点03，P，知10922ba．又ba3，代入得12b，92a，故椭圆的方程为1922yx．当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay．由椭圆过点03，P，知10922ba．又ba3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy．例3ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．分析：（1）由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解．（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为yx，，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10a，8c，有6b，故其方程为013610022yyx．（2）设yxA，，yxG，，则013610022yyx．①由题意有33yyxx，代入①，得A的轨迹方程为0132490022yyx，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．2例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF．从椭圆定义知52221PFPFa．即5a．从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab．∴所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx．例5已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积．解：如图，设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF·224coscPF．①由椭圆定义知：aPFPF221②，则－①②2得cos12221bPFPF．故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b．例6已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．3例7已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为11yxM，，22yxN，，线段MN的中点yxR，，则④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121①－②得0221212121yyyyxxxx．由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将③④代入得022121xxyyyx．⑤（1）将21x，21y代入⑤，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx．⑥将⑥代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求．（2）将22121xxyy代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入⑤得所求轨迹方程为：022222yxyx．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：2222212221yyxx，⑦，将③④平方并整理得212222124xxxxx，⑧，212222124yyyyy，⑨将⑧⑨代入⑦得：224424212212yyyxxx，⑩再将212121xxyy代入⑩式得：221242212212xxyxxx，即12122yx．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．4例8已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx．020161542222mmm，解得2525m．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx．根据弦长公式得：51025145211222mm．解得0m．方程为xy．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F．点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（－9，6），直线2FF的方程为032yx．解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（－5，4）．此时21MFMF最小．所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，∴53a，又3c，∴3635322222cab．因此，所求椭圆的方程为1364522yx．例10已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．5解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k．∴满足条件的k的取值范围是53k，且4k．说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53k，故k的取值范围是53k．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆．例11已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．解：方程可化为1cos1sin122yx．因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1．因此0sin且1tan从而)43,2(．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b．(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0．例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122nymx(0m，0n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122nymx(0m，0n)．由)2,3(A和)1,32(B两点在椭圆上可得,11)32(,1)2()3(2222nmnm即,112,143nmnm所以151m，51n．故所求的椭圆方程为151522yx．例13知圆122yx，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．解：设点M的坐标为),(yx，点P的坐标为),(00yx，则20xx，0yy．因为),(00yxP在圆122yx上，所以12020yx．将xx20，yy0代入方程12020yx得1422yx．所以点M的轨迹是一个椭圆1422yx．6说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(yx，设已知轨迹上的点的坐标为),(00yx，然后根据题目要求，使x，y与0x，0y建立等式关系，从而由这些等式关系求出0x和0y代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程，化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121xxkAB]4))[(1(212212xxxxk．因为6a，3b，所以33c．因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx．设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而1348]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122．在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m．同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标．再根据焦半径11exaAF