群论(1)第一章

群论（1）主讲教师：郝钢单位：中科院研究生院教师简介姓名：郝钢单位：中国科学院研究生院联系方式电话：88256521Email:[e-mail]办公室：玉泉路园区教学楼429室，313室课程简介（1）课程名称：群论（1），GroupTheory(1)课程类型：学科基础课主要内容：群论在物理中的应用一，群的基本概念二，群的表示理论三，三维转动群四，点群和空间群课程简介（2）授课方式：课堂讲授为主幻灯片+板书考核方式期末考试（闭卷）：70%-85%平时成绩（作业等）：15%-30%参考书马中骐《物理学中的群论》及其习题讲解韩其智，孙洪洲《群论》群论在现代物理学中的应用一个字：广泛凝聚态物理，粒子物理……《群论及其在粒子物理中的应用》高崇寿《群论及其在固体物理中的应用》喀兴林群论是研究对称性的有力工具。基本相互作用的对称性，物质结构的对称性…第一章：群的基本概念1.1群的基本概念群是定义了乘法规则，满足“四要素”的元素的集合。群是集合(G)，群中元素称为群元乘法规则定义了群元间的作用规则，不一定是通常意义上的数或矩阵乘法(1)存在恒元：ER=RE=R,E为恒元(2)存在逆元：RS=SR=E,(R,S)互为逆元，S=R-1(3)结合律：RST=(RS)T=R(ST)(4)封闭性：任意G中的R,S，RS∈G群是乘法的艺术，讲究的是“恒逆合闭”乘积次序很重要RS=SR？简单群举例：最简单的群：{E}所有实数可以构成群G1，群的乘法规则为数的加法。(1)0+a=a+0=a，0为恒元(2)a+(-a)=0，a和-a互为逆元(3)a+(b+c)=(a+b)+c，结合律(4)a+b=c仍是实数，属于G1，封闭性思考：如果乘法规则为数的乘法能否构成群。例：所有正实数可以构成群G2，群的乘法规则为数的乘法(1)a×1=1×a=a，1为恒元(2)a×(1/a)=1，a和1/a互为逆元(3)a×(b×c)=(a×b)×c，结合律(4)a×b为正实数，即属于群G2，封闭性思考：如果乘法规则为数的加法能否构成群。首先确定群的乘法规则判断集合能否成为群复元素群中一些元素的集合也可以看做是一个整体，称为复元素，如H1={a,b,c},H2={r,s,t}如H1与H2包含相同元素，H1=H2群元p乘复元素H仍为复元素p*H1={pa,pb,pc},H1*p={ap,bp,cp}复元素彼此相乘仍为复元素H1*H2={ar,as,at,br,bs,bt,cr,cs,ct}注意，相同元素只取一次复元素也可构成群，但未必与原群相同重排定理令T为群G={E,R,S……}中的任意元素，下列三个集合TG={T,TR,TS……}GT={T,RT,ST……}G-1={E,R-1,S-1……}仍为群，且与群G相同。即TG=GT=G-1=G.封闭性逆元存在R≠PRG=PG=G但G,RG与PG中群元排列次序不同重排乘法表将群元的全部乘积排列起来，即得到乘法表1.所有群元在每一行（列）均会、且只会出现一次。2.每一行（列）群元的排列次序均不同。3.通常将左乘元素和右乘元素按相同次序排列。右乘群元左乘群元ab=ba1.2变换群由若干变换作为群元构成的群，称为变换群。群的乘法规则定义为对客体进行连续变换，例：RS为先对客体进行S变换，继而进行R变换，如果连续变换RS的结果与单次变换T的结果相同，即有RS=T。通常而言，合适的变换可以构成群。1.不做变动也是一种变换（恒元存在）2.通常考虑可逆变换（逆元存在）3.如考虑R,S变换，可将连续变换RS,SR纳入集合中（保证封闭性）4.在上述群乘法规则的定义下，结合律自动满足常见的变换群平面转动群SO(2)空间反演变换P，三维空间转动群SO(3)，洛伦兹变换群正多面体对称变换群，T,O,n体置换群Sn……~r!¡~r~r!~r0例：考虑下述变换的集合GE：保持不变D：绕O轴逆时针转动120度F：绕O轴顺时针转动120度A：绕a轴翻转180度B：绕b轴翻转180度C：绕c轴翻转180度b轴c轴a轴O直观分析：ER=RE=R（恒元存在）D=F-1，D3=E，F3=E，D2=F，F2=DA2=B2=C2=E（逆元存在）O轴垂直纸面向上abc三轴间夹角60度a轴c轴b轴变换D变换F变换A变换B变换C变换的乘法关系以乘积AD为例，先做D变换，继而A变换c轴a轴b轴变换A变换C变换Da轴AD=C变换C=变换的乘法关系c轴a轴b轴变换D变换B变换Aa轴DA=B注意，有DA=B≠AD=C，AF=B，AB=F……有乘法表集合G内的元素乘积仍为G内元素（封闭性）结合律同样成立例：(AB)C=FC=BA(BC)=AF=B由变换构成的集合G={E,D,F,A,B,C}构成群！思考已知AD=CAD=CADF=CFA=CFCA=FC=FAD=ACDC=A作业：结合DA=B，推导剩余的群元乘积关系。重要事实：由A，D出发，可以得到全部群元，A2=E，D2=F，AD=C，DA=B1.3对称和对称变换对称：客体在某种变换下保持不变的性质。下图为上图对中间轴做镜像变换得到。左右称为对称变换具体的例子变换群G：{E,D,F,A,B,C}E：保持不变D：绕O轴逆时针转动120度F：绕O轴顺时针转动120度A：绕a轴翻转180度B：绕b轴翻转180度C：绕c轴翻转180度b轴c轴a轴OO轴垂直纸面向上abc三轴间夹角60度变换群G对普通三角形的变换变换D变换F变换A变换B变换Ca轴c轴b轴无对称性群G对正三角形的变换D变换C变换B变换F变换A变换ABCBCABACCBAACBCAB关于变换群G正三角形在群G中的变换下保持不变正三角形具有一定的对称性变换群G反映了正三角形的对称性群G={E,D,F,A,B,C}也称为正三角形对称群，记为D3变换群G是群，但未必是对称变换群！抽象的例子1库伦电场中粒子的哈密顿量1.空间反演变换P不变2.三维空间转动R不变能量本征态具有确定的宇称系统的角动量守恒H=p22¹¡Ze2r抽象的例子2H=p22¹¡Ze2μ1j~r¡~r1j+1j~r¡~r2j+1j~r¡~r3j¶~r2如图所示，三个等量正电荷被固定在平面上的正三角形顶点，电场中运动电子的哈密顿量为+++~r1~r3此哈密顿量的对称性与正三角形一样在D3群变换下保持不变对称性对分析物理系统至关重要轻强子的分类轻夸克u,d,s之间存在近似的SUf(3)味道对称性量子力学中若干问题的分析角动量，跃迁定则等基本相互作用的规范对称性弱电~SU(2)×U(1)，强作用~SUc(3)晶体的对称性……对称性破缺由于某种原因系统丢失了原有的对称性，例破缺1.4群的分类有限群vs无限群分类标准：群元个数是否有限有限群中群元的个数称为群的阶。例：置换群Sn，阶为n！平面转动群SO(2)所有实数构成的群，群乘法为数的加法。1.4群的分类离散群vs连续群分类标准：群元是否可用一组连续变化的参数描写。例：正三角形变换群D3平面转动群SO(2)三维空间转动群SO(3)连续群一定是无限群，反之不成立有限群一定是离散群，反之不成立1.4群的分类阿贝尔群vs非阿贝尔群分类标准：群元的乘积是否可以对易RS=SR例：平面转动群SO(2)空间反演群{E，P}正三角形变换群D3（AD≠DA）生成元（离散群）由{D,A}可以得到（生成）D3中其余4个群元。选取群中合适的元素，使群的全部元素都可表示为这些元素的乘积，这些元素称为生成元。生成元的个数称为群的秩。例：{D,A}为D3群的生成元。1.连续群（李群）的生成元有不同的定义2.生成元的选取不唯一，例{F,B}也为D3生成元3.生成元对研究群的表示很重要1.5同构与同态同构：若群G1和G2的所有元素都按某种规则一一对应，而元素的乘积也按同一规则一一对应，则称G1与G2同构，记为G1≈G2。1.两群同构，阶相同2.两群同构，乘法表相同3.同构的传递性，若G1≌G2，G2≌G3，则G1≌G3G1:RSRSG2:R’S’R’S’判断同构时，只需找到一种对应规则即可。例：所有实数可以构成群G1，群的乘法规则为数的加法。所有正实数可以构成群G2，群的乘法规则为数的乘法。G1与G2同构1.5同构与同态同态：一对多的“同构”。群G’和G的所有元素都按某种规则一多对应，且群元素乘积也按同一规则一多对应，则称两群同态，记为G’~G。RG’G1.6子群和陪集群G中的一个集合H，如果H中的元素在原群G的乘法规则下构成群，则称H为G的子群。群G的子群{E},G称为平庸子群。循环子群：有限群G中某一元素R的全部幂次（完整循环）构成的集合：{R,R2……Rn-1,Rn=E}在群G的乘法规则下构成群，称为n阶循环群，记为Cn。n也称为群元素R的阶。循环群为Abel群。寻找子群的步骤：(1)写出每个群元对应的循环子群(2)将循环子群的不同组合用群的定义进行检验D3群的非平庸子群：(1){D,F,E},{E,A}{E,B}{E,C}(2)无陪集和不变子群群G的阶为g，有子群H阶为h：H={Sa,a∈[1,h]},G={Ri,i∈[1,g]},取G中不属于H的群元Rj，分别左乘和右乘子群H，得到子群H的两个陪集：RjH={RjS1,RjS2……RjSh},HRj={S1Rj,S2Rj……ShRj},左陪集右陪集对任意Rj属于G,不属于H，RjH=HRj？例：D3群子群对应的陪集子群H1={E,D,F}，左陪集AH1={A,C,B}=BH1=CH1，右陪集H1A={A,B,C}=H1B=H1C。子群H2={E,A}左陪集DH2={D,B}=BH2，FH2={F,C}=CH2，右陪集H2D={D,C}=H2C，H2F={F,B}=H2B，陪集的性质陪集中没有重复元素元素个数为h，与子群相同。陪集和子群没有公共元素。不同陪集中没有公共元素。如果两陪集中有一相同元素，则两陪集相同。群G可以分解为其子群和所有左（右）陪集之和G=H∪R2H∪……∪RdHg=h+h+……+h；即g=d*h子群的阶一定是原群阶的因子，d称为子群的指数，对应陪集的个数为d-1。群G中元素R的完整循环{R,R2……Rn-1,Rn=E}构成G的子群，所以n为群G阶g的因子。即群元的阶一定是群阶的因子。群阶为质数的群只有平庸子群，与同阶循环群同构。群G中的两元素R和T，但不属于子群H，属于同一左陪集的充要条件：R-1T∈H属于同一右陪集的充要条件：TR-1∈H不变子群不变子群：若子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等，则称H为G的不变子群。要求子群H的所有对应的左右陪集彼此相等；RjH=HRj并不要求Rj与H中的所有元素对易，只要求集合相等；指数d=g/h为2的子群一定是不变子群（只有一个陪集）。商群：商群：不变子群和其所有陪集，作为复元素的集合，满足群成立的条件，构成一个新群，称为原群G关于不变子群H的商群，记为D=G/H={H,R2H……RdH}={E,S1…..Sd}商群一定要从不变子群出发商群D的阶d为对应不变子群H指数g/hH(RaH)=RaHH=RaHH为恒元(RaH)(Ra-1H)=HRaRa-1H=HRaH和Ra-1H互为逆元(RaH)(RbH)=RaRbH=(RaRb)H∈D封闭性(RaH)(RbH)(RcH)=RaRbRcH结合律商群D与原群G同态商群D中的恒元对应原群G中属于不变子群H的元素，元素(RaH)对应群G陪集RaH内的元素，以此建立起一多对应(1:h)的关系。D：E…Sa…SdG：……..HRaHRdH例：D3的商群D3群的子群H={E,D,F}阶为6/3=2，不变子群陪集为RH=HR={A,B,C}，R=A,B,C商群D={H,AH}={{E,D,F},{A,B,C}}，阶为2与二阶循环群C2同构。C2与D3同态C2：E-ED3：{E,D,F}{A,B,C}同态核定理群G1与G2同态，G2群中对应G1群恒元的元素构成G2的