群论(1)第三章

第三章三维转动群第三章三维转动群3.0李群简述李群简述李群是一种连续群，每个群元可以用一组（m个）独立的实参数描写这些参数称为群参数个）独立的实参数描写，这些参数称为群参数。这组参数可以在欧氏空间的某个区域内连续变化这个区域称为参数空间化，这个区域称为参数空间。通常选取合适的群参数，使得1.参数空间内，群参数和群元一一对应2.单位元对应的群参数都为0独立实参数的数目定义为连续群的阶也是参3.群参数连续变化时，群元也连续变化独立实参数的数目定义为连续群的阶，也是参数空间的维数。李群的群参数李群的群参数群元乘法规则g(a)g(b)=g(c)可以通过群参数a,b,c的函数关系体现：c=F(a;b)群的乘法规则要求群的乘法规则要求当F(b)对于和b是连续可微函数时G为李群当F(a;b)对于a和b是连续可微函数时，G为李群当a和b为小量时3.01李群的局域性质生成元李群的局域性质无穷小元素幺正变换算符生成元反厄米X+i=¡Xi定义厄米生成元Ji=iXi=i@g@ai¯¯¯¯a=0非无穷小群元a0g(a)=e¡iaiJi非无穷小群元g()生成元的对易关系成元的对易关系阿贝尔群阿贝尔群生成元彼此对易非阿贝尔群非阿贝尔群[Xi;Xj]=CkijXkJacobi恒等式[[XX]X]+[[XX]X]+[[XX]X]0结构常数[[Xi;Xj];Xk]+[[Xj;Xk];Xi]+[[Xk;Xi];Xj]=0Ckij=¡Ckji;ClijCnkl+CljkCnil+ClkiCnjl=03.02李群的整体性质李群的整体性质连通性：群中任意两元素在参数空间中的对应点过条完全包含在群空间内的路径点，可以通过一条完全包含在群空间内的路径连接，则参数空间连通。这样的李群称为简单李群；反之，混合李群。混合李群一般由若干连通区域组成，每个连通混合李群般由若干连通区域组成，每个连通区域称为叶，恒元所在的连通区域对应的群元素构成李群的不变子群其余区域构成相应陪素构成李群的不变子群，其余区域构成相应陪集。ABOAB李群的整体性质李群的整体性质连通度：参数空间内，可以连续变化的曲线的组数组数。数学上已证明：若简单李群G为n度连通，则数学明若简单李群为度连通则一定同态于某单连通的李群G’（1对n），G’称为G的覆盖群。覆盖群的真是表示是G的n值表为G的覆盖群。覆盖群的真是表示是G的n值表示。紧致性若参数空间为欧氏空间中包含边界的紧致性：若参数空间为欧氏空间中包含边界的闭区域，则紧致；若开区域，则非紧致。紧致→建立参数空间的积分→将有限群对群元求和进行推广。群积分群积分对群元的求和变为对群参数的积分对群元的求和变为对群参数的积分1X!ZdR!ZdrW(r)gXR2G!ZdR!ZdrW(r)权函数W(r)W(0)=W(r)¯¯¯¯Det@Fi(a;r)@aj¯¯¯¯a0¯j¯a=03.03有限群到紧致李群的推广有限群到紧致李群的推广群表示的正交定理ZdRDa¤(R)Db(R)1±ab±±ZdRDa¹½(R)Dbº¸(R)=na±ab±¹º±½¸特征标正交定理ZdRÂa¤(R)Âb(R)=±abZ有限群到紧致李群的推广有限群到紧致李群的推广线性表示等价于幺正表示线性表示等价于幺表示等价的幺正表示可以通过幺正的相似变换联系实表示等价于实正交表示实表示等价于实正交表示可约表示完全可约。不可约表示的充要条件ZhÂjÂi=ZdR¤(R)Â(R)=1iZiai=hÂijÂi=ZdRÂi(R)¤Â(R)3.1三维空间中的转动维空间中的转动三维欧氏空间中的位置矢量~r=3Xi=1xi~eiR~r!~r0;R为保持空间两点间距离不变的固有转动，全部的R构成三维转动群。i1部的构成维转动群以三维欧氏空间为表示空间，有实表示D~r0=D(R)~r;r0=r组成维幺模实正交矩阵群称为r=D(R)r;r=rDT(R)D(R)=1;DetD(R)=+1D(R)组成三维幺模实正交矩阵群，称为SO(3)群，是O(3)群的不变子群3.1.1SO(3)的生成元()的成元无穷小元素R=1+M=1+aiXiXi=@g@ai¯¯¯¯0M为反对称实矩阵01@a¯a=0RTR=1)MT=¡MM=0@0¡zyz0¡x¡yx01A=aiXi生成元@¡yx0A生成元X00000011X00010001X00¡101001X00000011X00010001X00000011X00010001Xx=0@00¡10101AXy=0@000¡1001AXz=0@1000001AXx=0@00¡10101AXy=0@000¡1001AXx=0@00¡10101AXy=0@000¡1001A厄米生成元厄米成元构造厄米生成元Ji=iXi构造厄米成元J00¡i0i001J000000i1J000i0001Jz=0@i000001AJx=0@00¡i0i01AJy=0@000¡i001A对易关系无穷小元素[Ja;Jb]=iXc²abcJc无穷小元素R=1¡iwaJa=1¡iw^n¢~J非无穷小元素R=e¡iw^n¢~J=R(^n;w)绕坐标轴的转动绕标轴的转动绕z轴转动w角R(ez;w)=e¡iwJz=1+(¡iwJz)+12(¡iwJz)2+¢¢¢=0@cosw¡sinw0sinwcosw01A同样@001A同样010010cosw0sinw1R(ex;w)=0@0cosw¡sinw0sinwcosw1AR(ey;w)=0@010¡sinw0cosw1A3.2轴转动表示法z轴转动表示法绕n轴转动w角R(^n;w)绕轴转动角为单位矢量方位角为()(μÁ)yn为单位矢量，方位角为(μ;Á)μ2[0¼]Á2[02¼)x转动角wμ2[0;¼];Á2[0;2¼)xw2[0¼]转动角ww2[0;¼]R(^n;w)=R(¡^n;2¼¡w)¡^n:(¼¡μ;¼+Á)3.2.1三维转动群的类维转动群的类绕n’轴转动w角vs绕n轴转动w角绕n轴转动w角vs绕n轴转动w角R(^n0;w)=R(^n!^n0)R(^n;w)R(^n0!^n)R(^n0!^n)^n0=^n绕不同轴转动相同角度的转动群元同类()互为逆元素绕不同轴转动相同角度的转动群元同类。用转动角w标记类Cw，w2[0;¼]通常选取Cw中的R(ez,w)作为代表3.2.2三维转动群的基础表示维转动群的基础表示绕n轴转动w角绕轴转动角R(^n;w)=R(ez!^n)R(ez;w)R¡1(ez!^n)n轴的方位角(μ;Á)zR(ez!^n)=R(ez;Á)R(ey;μ)=S(μ;Á)μyÁ=0@cosÁcosμ¡sinÁcosÁsinμsinÁcosμcosÁsinÁsinμ1AxÁ@¡sinμ0cosμA三维转动群的基础表示维转动群的基础表示R(^n;w)=S(μ;Á)R(ez;w)S¡1(μ;Á)=0B@n2x(1¡cosw)+coswnxny(1¡cosw)¡nzsinwnxnz(1¡cosw)+nysinwnxny(1¡cosw)+nzsinwn2y(1¡cosw)+coswnynz(1¡cosw)¡nxsinw1CA@ynxnz(1¡cosw)¡nysinwnynz(1¡cosw)+nxsinwn2z(1¡cosw)+coswAn=sinμcosÁn=sinμsinÁn=cosμ可以验证nx=sinμcosÁ;ny=sinμsinÁ;nz=cosμR(^nw)=e¡iw^n¢~J=e¡iwaJa可以验证R(n;w)=e=e特征标Â(w)=1+2cosw3.2.3轴转动表示法的参数空间轴转动表示法的参数空间群参数(wx;wy;wz)=(w;^n(μ;Á))=f~wgw2[0;¼];μ2[0;¼];Á2[0;2¼)所有的矢量构成参数空间，w2[0;¼];μ2[0;¼];Á2[0;2¼)¼R(^nw)=R(¡^n2¼¡w)R(n;w)=R(¡n;2¼¡w))R(^n;¼)=R(¡^n;¼)参数空间的连通性参数空间的连通性简单李群ababb参数空间只有一叶参数空间的连通度参数空间的连通度路径1：无跳跃路径2：1次跳跃路径：无跳跃aaabR(^n;¼)=R(¡^n;¼)路径32次跳跃=没有跳跃路径3：2次跳跃=没有跳跃aa结论：根据跳跃次数的奇偶，有两类不同的路径所以SO(3)群连通度为2路径，所以SO(3)群连通度为2.3.2.4参数空间上的积分参数空间的积分参数空间f~g参数空间fwg11Z¼wZ¼Z2¼1gXR2G!12¼2Z0sin2w2dwZ0sinμdμZ0dÁ特征标的内积hÂijÂji=2Z¼dwsin2w2Âi¤(w)Âj(w)hÂjÂi¼Z02Â()Â()3.3SO(3)群的欧拉角表示()群的欧拉角表示绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现1.绕z轴转动alpha角R(e®)~r=~r00·®2¼2.绕y’轴转动beta角R(ez;®)r=r;0·®2¼00003.绕z’’轴转动gamma角R(e0y;¯)~r0=~r00;0·¯·¼3.绕z轴转动gamma角R(e00z;°)~r00=~r000;0·°2¼000R(^n;w)=R(e00z;°)R(e0y;¯)R(ez;®)=R(®;¯;°)写成绕固定轴转动的乘积R(®;¯;°)=R(ez;®)R(ey;¯)R(ez;°)=0@c®c¯c°¡s®s°¡c®c¯s°¡s®c°c®s¯s®c¯c°+c®s°¡s®c¯s°+c®c°s®s¯1A其中@¡s¯c°s¯s°c¯Ac=cos®s¯=sin¯其中特征标c®=cos®;s¯=sin¯Â(®;¯;°)=(1+cos¯)cos(®+°)+cos¯参数空间上的积分Z1Z2¼Z¼Z2¼ZdR=18¼2Z2¼0d®Z¼0sin¯d¯Z2¼0d°3.4SU(2)群()群二维幺模幺正矩阵一般形式Detu=1u+u=uu+=1般形式μab¶22u=μab¡b¤a¤¶jaj2+jbj2=1全部的二维幺模幺正矩阵构成群，即SU(2)3.4.1SU(2)生成元()成元无穷小元素M为厄米矩阵u=1¡iMM+MM为厄米矩阵M+=MM=μzx¡iyi¶=wi¾i生成元Mμx+iy¡z¶w¾i@M¯¯生成元¾i=@wi¯¯¯w=0μ01¶μ0i¶μ10¶¾x=μ0110¶¾y=μ0¡ii0¶¾z=μ100¡1¶生成元成元对易关系对易关系令有[¾i;¾j]=2iXk²ijk¾k1生成元对易关系与SO(3)群相同，意味着令，有Ji=12¾i[JJ]=iX²kJk()二者的局域性质相同SU(2)群元[Ji;Jj]=iXk²ijkJkSU(2)群元¡iwaJa¡iw^n¢~J¡iw2^n¢~¾u=eiwJa=eiwnJ=ei2n¾3.4.2SU(2)群的基础表示()群的基础表示二维幺模幺正矩阵的一般形式维幺模幺正矩阵的般形式u=e¡iw2^n¢~¾^n:(sinμcosÁ;sinμsinÁ;cosμ)u=e¡iw2^n¢~¾^n:(sinμcosÁ;sinμsinÁ;cosμ)u=e¡iw2^n¢~¾^n:(sinμcosÁ;sinμsinÁ;cosμ)u=e¡iw2^n¢~¾^n:(sinμcosÁ;sinμsinÁ;cosμ)=12£2cosw2¡i(~¾¢n)sinw2特征标w2[0;2¼];μ2[0;¼];Á2[0;2¼)特征标Â(w)=2cosw2用w标记类u(^nz;w)=μe¡iw=200eiw=2¶参数空间参数空间u的具体形式[02]μ[0]Á[02)u=e¡iw2^n¢~¾=12£2cosw2¡i(~¾¢^n)sinw2参数空间的性质w2[0;2¼];μ2[0;¼];Á2[0;2¼)u(^n;w)=u(¡^n;4¼¡w)=¡u(¡^n;2¼¡w)2¼u(^n;2¼)=¡12£2参数空间的连通性和连通度参数空间的连通性和连通度简单李群单连通简单李群单连通aaabR(^n;2¼)=¡12£2参数空间上的积分参数空间