Ch2自回归移动平均模型(金融计量-复旦,徐剑刚)

1Ch2自回归移动平均模型徐剑刚2自回归移动平均模型z时间序列分析方法是BoxandJenkins(1970)提出的，该法不考虑以经济或金融理论为依据的解释变量的作用，而是依据时间序列本身的变化规律，利用外推机制来描述时间序列。z必须注意的是，建立时间序列模型的前提是：时间序列是平稳的。3随机过程z由随机变量构成的一个有序序列称为随机过程，通常记为S是样本空间，T为序数集。z对于每个t(t∈T)，x(•,t)是样本空间S中的一个随机变量；z对于每个s(s∈S)，x(s,•)是随机过程在序数集T中的一次实现。一般将随机过程简称为过程，记为{xt}或xt。z随机过程的一次观测结果称为时间序列，{xt,t∈T}用表示。时间序列数据是所要研究变量的观测值按时间先后顺序排列的一组数据。如果我们把1997年1月1日至2002年12月31日间每个交易日收盘时的中信指数按时间先后排列起来，得到了中信指数时间序列。z通常，分析的数据是等时间间隔的，从而是一个离散的时间序列。z研究时间序列{xt}的目的，就是分析xt与其过去值{xt-1,xt-2,…}间的动态相关性。如果用线性模型分析，意味着xt与其过去值{xt-1,xt-2,…}存在着线性关系。(){}TtSstsx∈∈,,,4滞后算子z滞后算子“L”是这样定义的zLxt就是时间序列{xt}在第t-1时刻的值xt-1z一个滞后算子的多项式为z其中，φ0=1，p是非负整数，为φ(L)的阶数。将φ(L)应用于序列xt上，得z在时间序列分析中，该方程常用来分析xt与其过去值{xt-1,xt-2,…}间的动态相关性。1−=ttxLx∑=−=−−=piiippLLLL1010)(φφφφφφ∑=−−−−=−−=piitittptttxxxxxxL1111)(φφφφ5滞后算子z假定c为常数，方程z称为p阶差分方程。如果c=0，那么，方程就是一个齐次方程。如果变量xt满足差分方程(6.4)，称为方程的一个解。z不同的φ(L)将描述xt的不同的动态行为，常用z差分方程来分析一个线性时间序列的动态结构。cxLt=)(φcxLt=)(φ6平稳性z一个时间序列是随机变量按时间顺序排列的观测值，在经济和金融的应用中，我们仅能得到的是时间序列的一次实现，时间序列分析的目标就是从观测到的一次实现来对过程进行推断，常用的方法就是选择一个适当的模型来近似描述所研究的过程。z选择一个适当的模型，就涉及到评价样本数据的联合分布函数z其中，T是样本容量，xi是实数。通常{xt}是一个观测序列。为了能更好地为时间序列构模，需要限制联合分布。进一步，为了预测，还要说明过程分布的一些关键性质，即时间不变性。),,Pr(),,(1121TTTxXxXxxxF≤≤=7强平稳z在时间序列分析中，时间不变性是十分有用的，昀常用的就是平稳性。z如果一个平稳过程的性质不随时间起点的变化而变化，也就是说，对于序数集T中的任何时间子集z以及任何实数k，z称这个随机过程为强平稳过程。其中，F(•)表示n个随机变量的联合分布函数，这意味着该平稳过程所有存在的矩都不随时间的变化而变化。z强平稳表明了和的概率分布相同，z的联合分布和的联合分布相同，…，z的联合分布和的联合分布相同。()nttt,..,,21()niTkti,...2,1,=∈+()()ktktttnnxxFxxF++=,...,...111txktx+1{}21,ttxx{}ktktxx++21,{}ntttxxx,,21{}ntttxxx,,218m阶平稳过程z强平稳的要求苛刻，因而引入较弱的条件z如果一个平稳过程m阶以下矩(包括m阶矩)的取值与时间无关，称随机过程为m阶平稳过程。z随机过程为m阶平稳过程并不要求和的概率分布相同，仅要求这两个分布的主要特征相同，只要求相等到m阶矩。1txktx+19二阶平稳(弱平稳、协方差平稳）z只注重时间序列的一阶矩、二阶矩。z假设一个时间序列，其T个均值为E(x1),E(x2),…,E(xT)，T个方差为Var(x1),Var(x2),…,Var(xT)，和T(T-1)/2个协方差为Cov(xi,xj)，i≠j。z如果z均与时间t无关，称xt为二阶平稳过程，弱平稳、协方差平稳。z如果时间序列xt的一阶矩、二阶矩具有时间不变性，那么，xt是弱平稳的。当然，这里要求xt的一阶矩、二阶矩都存在。z强平稳意味着过程的分布与时间无关，弱平稳意味着过程的二阶矩与时间无关。强平稳过程也是弱平稳的。z实际应用时，通常假设时间序列的分布是联合正态分布，这种假设出于统计上的方便性。因为，正态分布性质能为均值和二阶矩描述。z对于服从正态分布的时间序列，弱平稳就是强平稳。{}Ttx1∞====μ)()(...)(1tTxExExE∞====21)()(...)(σtTxVarxVarxVar∞=ijjixxCovσ),(10白噪声z在二阶平稳过程中，白噪声序列{at}，其定义如下，z(1)均值为0，即对于所有的t，z(2)方差是常数，即对于所有的t，z(3)协方差为0，即对于t≠s，z也就是说，白噪声是均值为0、方差为σ2的不相关序列。z白噪声相当于没有“记忆”过程，即过程第t时刻的值与所有过去直到t-1时刻的值(实际上也包括过程的未来值)都不相关。z白噪声过程滞后k期的自相关系数为0。应该指出的是，白噪声过程是人为的，在实际中过程的前后往往都存在着“记忆”。但是，白噪声为构造更复杂的模型提供了基本“元素”，因此，它在平稳过程理论中起着十分重要的作用。0)(=taE22)(σ=taE0)(=staaE11白噪声过程的一次实现-3-2-10123412自协方差函数和自相关函数z称为{xt}的自协方差函数。z对于每个k，γk是过程在相隔时间为k的一对值的协方差，称k为滞后阶数。z注意，γk只是k的函数，与观测值的时期t无关。因而，对于一个弱平稳过程来说，γk=γ-k，z证明如下，将t换成t+k，有z自相关函数(ACF)定义为，z对于每个k，ρk是过程在相隔时间为k的一对值的相关关系，它可以作为xt的一次实现与时移k后的同一次实现之间“相似”的度量。z注意，ρk只是k的函数，与观测值的时期t无关，而且，ρk=ρ-k。自相关函数在建立自回归移动平均模型时非常重要。()kttkxxCov−=,γ()()()()kkttktkkttktkttkxxCovxxCovxxCovxxCov−++−+−−=====γγ,,,,0γγρkk=13线性时间序列z如果要生成一个不独立的序列，我们可以利用白噪声的线性组合，z其中，ψ0=1，{at}为白噪声序列。z实际上，上式将白噪声{at}的现行值和过去值的平均而生成观测序列xt。依这种方式生成的过程称为线性过程，实际上是移动平均过程。z上式xt的均值为0。如果xt的均值不为0，只要在式的右边加上常数项μ即可。z如果xt是弱平稳过程，那么其方差必存在，这样要求jtjjttttaaaax−∞=−−∑=+++=02211...ψψψ∞∑∞=12iiψ14xt的一阶矩、二阶矩和自相关函数zxt的一阶矩即均值为0，E(xt)=0，z方差为z自协方差函数为z自相关函数为()()∑∞=−=++=++==0222222121120...1...)(jjtttaaExEψσσψψψγ()().........)(1111++++++==−−−−−−ktktktkttkttkaaaaaExxEψψψγ()()kjkjktkktkaEaE+∞=−−+−∑=++=ψψσψψψ0221112∑∑∞=∞=+==000jjjkjjkkψψψγγρ15沃尔德分解z任何线性时间序列模型都可表示为无限阶的移动平均过程，只不过不同的模型，对ψj权重的限制不同。z下面我们考虑时间序列分析中一个非常重要的定理，沃尔德(Wold,1938)定理。沃尔德定理指任何平稳过程yt可分解为两部分，z其中，xt是线性过程，μt是确定性过程，z对于所有的t,s，μs和xt不相关。确定性过程μt可由过程的过去值完全预测。tttxy+=μ16一阶自回归过程z似乎相当复杂，但许多应用的模型可通过限定ψj权重而得到的，例如，令ψj=φj，可写成z可得z这就是一阶自回归过程，记为AR(1)。zxt部分地依赖于xt-1，部分地依赖于“随机扰动”εt。或者说，xt线性回归到xt-1，εt是误差项。由于xt对自身过去地回归，因而称之为“自回归过程”。jtjjttttaaaax−∞=−−∑=+++=02211...ψψψ)(21221+++=+++=−−−−tttttttaaaaaaxφφφφtttaxx+=−1φ17AR(1)过程的一次实现zAR(1)过程xt-0.8xt-1=εt的一次实现zAR(1)过程xt+0.8xt-1=εt的一次实现-4-3-2-101234-4-3-2-10123418平稳性z引入滞后算子L，AR(1)可表示为z只要⏐φ⏐1，上式是收敛的，xt是平稳过程。zAR(1)的特征方程为1－φL=0，它的根为L＝1/φ，只要特征方程的根在单位圆外，AR(1)是平稳的。ttaxL=−)1(φ()()+++=+++=−=−−−22122111ttttttaaaaLLaLxφφφφφ19自协方差函数z可由AR(1)过程的一阶矩、二阶矩来分析其统计特性z由于at是白噪声，对于k+j0，则z因此，当k=0时，则z当k=1时,则过程的方差为z当k0时，自协方差函数z，k=1,2,…z()()()jkttjjkttkkkttktttaaxaExaExxxE−−∞=−−−−−∑==−=−011)(φφγγφ()0=−−jkttaaE10210φγγσφγγ−==−−2201φσγ−=01=−−kkφγγ001=−φγγ20自相关系数ACFzAR(1)模型(εt为零均值单位方差的正态随机过程)的自相关系数。z当φ=0.80时，自相关系数以指数形式衰减；z当φ=-0.80时，自相关系数以正负相间方式衰减。z而且，|φ|越接近于1，衰减速度越慢。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91234567891011121314151617181920-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81234567891011121314151617181920AR(1)过程xt-0.8xt-1=at的ACFAR(1)过程xt+0.8xt-1=at的ACF21二阶自回归过程zxt不仅与xt-1有关，而且与xt-2有关。AR(2)过程为z平稳性z要使xt平稳，须对φ1、φ2作限制。z对于AR(1)过程，如果平稳，特征方程的根必须在单位圆外，同样，若要AR(2)过程平稳，其特征方程z若要AR(2)过程平稳，必须满足|g1|1，|g2|1。而zg1、g2要么是一对复根，要么是实根。这时，AR(2)过程平稳，φ1、φ2必须满足z对于复根，要求ttttaxxx++=−−2211φφ()ttaxLL=−−2211φφ01221=−−LLφφ()[]2422112,1φφφ+±=g1,1,122121+−+φφφφφ04221+φφ22自协方差函数、自相关函数zAR(2)过程的自协方差函数，zat仅与xt有关，而与xt－j(j0)无关，当k0时，z，k＝1,2,…z当k＝0时，有z两边除以γ0，可得AR(2)过程的自相关函数z当k＝1时z当k＝2时z对于k2，)()()()(2211kttkttkttkttxaExxExxExxE−−−−−−=−−φφ0)(2211==−−−−−kttkkkxaEγφγφγ22110222110γφγφγσγφγφγ−−==−−−−,2,1,02211==−−−−kkkkρφρφρ12011120110ρφρφρρφρφρ−−==−−−2111φφρ−=002112=−−ρφρφρ222121φφφρ+−=2211−−+=kkkρφρφρ23自相关系数ACFzg1、g2是实根，自相关系数以单调或正负相间的指数形式衰减；00.10