热物理过程的数值模拟-计算传热学3

四、非线笥问题迭代式解法的收敛性每一层次上满足迭代法求解的收敛条件+相邻次间代数方程的系数变化不太大（亦即未知量的变化不太大←多数情形下非线性问题迭代式解法是可以收敛的）。使相邻两层次间未知量变化不太大的措施：1、欠松弛迭代常用逐次欠弛线迭法（SLUR）：一组临时系数下逐线迭代求解+对所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去计算新的系数，常数，以进入下一层次的迭代。实施：常把欠松弛处理纳入迭代过程，而不是在一个层次迭代完成后再行欠松弛。)()()()1(nppnnnpnptabbtatt)()1()1()(nppnnnpptabbtbata')1('bbbtatannnpp)('))(1(',npppptabbaa，用交替方向线迭代法求解这一方程，就实现了SLUR的迭代求解。为一般化起见，上式中btn上没有标以迭代层次的符号（J，GS时不相同）。2、采用拟非稳态法前面已指出，稳态问题的迭代解法与非稳态问题的步进法十分相似。对于非线性稳态问题，从代数方程的一组临时系数进入到另一组临时系数亦好象非稳态问题前进了一个时间层，非稳态问题的物理特性：系数热惯性越大（/vcaop），温度变化越慢，仿此，对稳态非线性问题，可在离散方程中加入拟非稳态项，以减小未知量托两个层次间的变化，即由)()1()1()()(npopnnnpoppnnnnppntabbbtataVSbabbbtatVSbaoppnnpopnnnpaVSbatabbbtat)()1(一直进行到bttnp,收敛，虚拟时间步的大小通过计算实践确定。3、采用Jacobi点迭代法中止迭代的判据（该层次迭代）除前述变化率判据外，还可以规定迭代的轮数，例如规定进行4-6次ADI线迭代就结束该层次上的计算。此时，用收敛速度低的丁迭代也就起到了欠松弛的作用。五、迭代法的收敛速度1、收敛速度对给定的代数方程组（包括是临时系数的情形），采用不同的迭代方法求解时，使一定的初始误差缩小成倍所需要的迭代轮数K是不相的。1)0()0()(eGeGekkk因为G是对称的，所以)()()(22GGGGGT所以2)0(2)0(22)())(eGeGekkk)(,))((/2)0(2)(GkllGeennkk即))(/()(/GllGllknnnn)(,G均1对于给定的，所需迭代轮数k与)(Gln成反比，规定用)(GlRn表示迭代法的收敛速度，则klRorRlknn//即所需迭代轮数与收敛速度成反比，收敛速度又与谱半径成反比，收敛速度愈快，迭代轮数愈少。注意：不同的迭代方法每进行一轮迭代所需的运算次数不同，最终所需的计算时间的多少取决于迭代轮数及每一轮迭代所需的时间。2、收敛性的定性分析为什么不同的迭代方法的收敛速度不同，亦即为达到满足一定精度要求所需的迭代轮数不同？以二维常物性、无内热源、稳态导热问题来进行讨论。0'222ytxt1B、CSSNNwwEEpptatatatata迭代法需要假定一个初场，例如假定一个均场，从微分方程为看，均匀是其一个解，但却不是所研究问题的解，为什么？因为它虽然满足内部节点上的离散方程，却不满足与边界有关的节点的离散方程（图中红点），即不满足边界条件。所以迭代法的实质是要通过迭代，尽快建立起与边界条件相适应的变量场，关键：必须使B、C的影响迅速传入计算区域内部，以改进节点变量值，尽快与B、C相应，B、C的影响传入愈快，逼近真解就愈快，收敛就越快！B、C的影响传入计算区域内部的快慢与哪些因素有关？（1）与迭代方法有关J迭代：节点温度的更新均用上轮迭代所得的“旧”值来计算，所以完成一轮迭代后，B、CtTBtRBtBBtwBijyx的影响只能传入与边界相邻的一批节点上，即仅可传入一个网格，且扫描方向与收敛快慢无关。要在以后各轮迭代中，B、C的影响才由这些节点逐步向内渗透，所以收敛慢。GS迭代：假设从左向右扫描，则每做完一轮迭代，左边界和下边界的影响传遍全区域，而右边界的影响只能传入一个网格，且收敛速度受迭代扫描方向的影响。线迭代：GS线迭代。自左→右扫描，完成一轮迭代不仅左边界的影响逐步传入，而且在每一列的直接求解中，上、下边界的影响全部传入到该列的各节点上，即一轮迭代使左、上、下边界影响传入全区域，但右边界影响仍仅传入一个网格。ADI：一轮迭代包括一次逐行、一次逐列的扫描；所以在每一轮迭代后所有边界的影响均传入计算区域内部，从而加快了收敛速度。收敛速度的比较，正方形区域，1B、C，Laplace方程五点格式，均匀网格步长为h。迭代方法点迭代线迭代Jacobih2/2h2Gouss-Seidelh22h2SOR2h22h（2）与边界条件的性质有关twxttwxttftw定向点λ/lxt1B、C规定了边界节点的温度，影响直接传入计算区域内部；3B、C规定了环境温度及定向点位置，ttxtl，对边界温度的限定程度比1B、C时弱，所以对内部的影响也较弱；或将ft视为外部温度，其对计算区域内部的影响被外部换热热阻削弱，而1B、C可视为或外部热阻0的极限情况，故3B、C的影响比1B、C时弱。2B、C仅规定了壁面的钭率，壁温完全不确定，对内部节点温度值的改进提供的信息最少，收敛最慢。可见，为了提高代数方程迭代解法的收敛速度，应力求使边界条件的影响迅速传入计算区域内部，措施：①增加迭代解法中直接解法的成分，从点迭代→线迭代→ADI；②适当选择扫描的始边，多以1B、C或3B、C的边界为始边，少以2B、C（尤其是绝热边界）为扫描始边。5-4不规则区域的处理—网格生成技术如何对不规则区域进行有效的处理，以便于进行传热与流动过程的数值模拟，是近年来计算传热研究中的一个重要课题。以上讨论的传热过程大都发生在规则而简单的区域中，但许多实际的热传递现象是在不规则的区域中进行的，例如：①套片管中肋片的传热②渐扩通道中的流动与换热③环形空间中的自然对流④流体外掠管束以上四种情形中的流动与换热不是直角坐标、圆柱轴对称坐标或极坐标所能方便地予以描述。虽然有限元法在处理不规则边界方面显示了极大的优越性，但就流动与传热而言，在计算技巧与方法方面，有限差分法都比有限元法成熟。用有限差分法处理这类问题的方法可以归纳为以下几种。1、采用阶梯形边界（网格）用阶梯形边界近似代替四分之一圆弧边界。阶梯形边界（网格）是采用有限差分法计算不规则区域的最普通的方法。缺点：程序缺少通用性；曲面边界上网格必须划得比较细密（否则会引起较大误差）。2、采用区域扩充法当计算区域的边界不规则程度不很严重时，可以采用区域扩充法，把计算区域扩充为直角坐标，圆柱坐标等常规正交坐标系中易于描述的形状。条件：保证原计算区域的情况不变！’qα,tf②①v=实际值v=1030流动：把计算区域扩充到图中虚线所示的整个圆形通道，从而可以应用圆柱轴对称坐标系中的控制方程加以描述。如何保证原来的情况不变？孔板区视为粘性无限大的“流体”，而其余区域的流体粘性值就等于真实值，边界上流速赋为零，计算中零边值将迅速传到孔板区域内，有效地模拟了孔板的存在。传热：对三种不同的边界条件，具体的处理方式不同（1）均匀壁温边界条件令扩充区域中的导热系数为无限大，而扩充后的区域边界温度则等于已知值。（2）绝热的边界条件令扩充区域中的材料导热系数为零即可实现此条件（3）均匀热流边界条件可应用附加源项法来实现，真实边界上均匀热流可以附加源项的形式置于与真实边界相邻的控制容积中去，而扩充区域则处于绝热状态。周期性二维渐扩、渐缩通道中的换热，倾斜的边界上作用有均匀的热流。采用左下所示阶梯形网格，并把计算区域扩充到一个长方形，以便利用直角坐标系求解。看一个网格单元的放大后的情形，P控制容积的附加源项为abcdofadVqLS/Lef—实际边界与控制容积P的两条边界相交部分的长度；abcdV—控制容积P的体积扩充区域0扩，则控容P中的附加源项adS不会向扩充区域传递，从而实现了实附边界上的均匀热流加热条件。（4）外部对流换热边界条件，ftl根据附加源项法，此时P控制容积的两个附加源项为VLSVLtSeadpoffadc//11//1,,—网格节点P到实际边界的距离0扩区域扩充法的优点：可以用按规则区域编制的通用程序来计算非规则区域的问题；易于实施。缺点：浪费一些计算机内存及计算时间。3、采用三角形网格外节点法对于不规则区域中的导热问题，采用三角形网格可以得到比较满意的结果。从不规则区域的三角形网格中划出围绕节点P的多边形来分析。确定节点P所代表的控制容积：①三角形外心作为控容的顶点，要求：三角形为锐角三角形，以保证外心一定在三角形内；②以三角形重心作为控容的顶点，对三角形形状无限制；外心为控制容积顶点，P控制容积如图所示，各部分平均导热系数分别为fcba,,,，用控制容积能量平衡法建立离散方程。P-1之间的热导1'11'11///pbbpaapLLLLcqq实际边界dcpbδeaλ扩≡0计算边界q456123edcbf21'111'1cot21cot21pbpaLLLL所以)cotcot(21cot21cot2121211babapC常物性时，)cot(cot21211pC其它各节点（2-6）与P节点之间的热导亦按上式计算，而只需把21,改换成相应顶角即可，P控制容积的热容：变物性时，图示各部阴影部分的热容量之和iiipVc)(,由控制容积P的热平衡可得ippipioppiVSttCttVc)()()(常物性时，上式变为ippipiopppVSttCttVc)()(以上二式右端温度值的时层未标出，它取决于所采用的格式。边界条件的处理：第一类边界条件，无需专门处理；第二、三类B、C边界上的节点，需要仿上述方法建立补充方程和图第二、三类边界上的节点P的控制容积3311cot21,cot21cpbpCC)cotcot(21422cbpC边界加入热量则计入到P控制容积的源项中，对第三类边界条件，传入热量adpfLtt)(，其中pt的时层取决于所采用的格式。Winslow指出，当导热系数为常数时，三角形网格所建立的离散方程的系数矩阵具有正定性，可用SOR求解；导热系数与温度有关时，为求迭代收敛，不宜采用SOR，且两次迭代之间的piC可用欠松弛。根据实际问题的需要，可以采用三角形网格与矩形网格的组合结构，例如二维纵向肋片管。三角形网格的缺点：节点位置的确定、编号，节点间距的计算比较费时程序比较复杂。内节点法：以每个三角形的外心为节点，其余同上。4、组合坐标法二维平直一弯曲段组成的通道，可采用坐标系组合的方法，例如直角坐标与极坐标的组合，把该计算系统分成三个区域，在区域I、III中采用直角坐标系，在区域II中采用极坐标系。23P11,tfbcadβ2β4三个区域中垂直于主流方向的坐标增量是一致的，drdy，但在主流方向上的坐标不一致，为求得一致，在I、III区域中定义iRxx/~，则I、III区域中的x~也是弧度，与II区中一致，从而可以从入口截面开始就统一地连续计量x~坐标。在各区域中分别按相应的控制方程建立其离散方程，然后在整个区域内统一地求解代数方程。三个区域的两个分界线作为主控制容积的界面线，所以当采用交错网格时，主流方向速度的控制容积将跨越两个区域，如图所示。该速控制容积的wEaa,分别按级坐标和直角坐标系计算，而SNaa,可按并联处理：先分别按两区域中的半控制容积计算，后相加，源项亦仿此。5、采用特殊的正交坐标系三维正交曲线坐标系中，稳态对流一扩散问题的通用控制方程为)(1)(1)(1121333213122321321321hhuxhhhhh