天一专升本高数知识点资料

第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：)()(xfxf，图像关于原点对称。偶函数：)()(xfxf，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若0βαlim，则α是比β高阶的无穷小量。（2）若cβαlim（不为0），则α与β是同阶无穷小量特别地，若1βαlim，则α与β是等价无穷小量（3）若βαlim，则α与β是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限（1）100xxxxxxsinlimsinlim使用方法：拼凑000sinlimsinlim，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致（2）exxxxxx10111)(limlime101)(lim使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。5、mnmnmnbaXQxPmnx,,,lim000xPn的最高次幂是n,xQm的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。mn,以相同的比例趋向于无穷大；mn，分母以更快的速度趋向于无穷大；mn，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限：Axfxx)(lim0右极限：Axfxx)(lim0AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000充分必要条件是注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义：0)()(limlim0000xfxxfyxx或)()(lim00xfxfxx间断：使得连续定义)()(lim00xfxfxx无法成立的三种情况)()(lim)(lim)()(00000xfxfxfxfxfxxxx不存在无意义不存在，记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1）、第二类间断点：)(lim0xfxx、)(lim0xfxx至少有一个不存在（2）、第一类间断点：)(lim0xfxx、)(lim0xfxx都存在)(lim)(lim)(lim)(lim0000xfxfxfxfxxxxxxxx跳跃间断点：可去间断点：注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（1）最值定理：如果)(xf在ba,上连续，则)(xf在ba,上必有最大值最小值。（2）零点定理：如果)(xf在ba,上连续，且0)()(bfaf，则)(xf在ba,内至少存在一点，使得0)(f第三讲中值定理及导数的应用1、罗尔定理如果函数)(xfy满足：（1）在闭区间ba,上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）)()(bfaf，则在(a,b)内至少存在一点，使得0)(f记忆方法：脑海里记着一幅图：2、拉格朗日定理如果)(xfy满足（1）在闭区间ba,上连续（2）在开区间（a,b）内可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得abafbff)()()(脑海里记着一幅图：b（*）推论1：如果函数)(xfy在闭区间ba,上连续，在开区间（a,b）内可导，且0)(xf，那么在),(ba内)(xf=C恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。（*）推论2：如果)(),(xgxf在ba,上连续，在开区间),(ba内可导，且),(),()(baxxgxf，那么cxgxf)()(记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、驻点满足0)(xf的点，称为函数)(xf的驻点。几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设)(xf在点0x的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0xfxf，则称)(0xf为函数)(xf的极大值，0x称为极大值点。设)(xf在点0x的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0xfxf，则称)(0xf为函数ab)(xf的极小值，0x称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注3xy在原点即是拐点6、单调性的判定定理设)(xf在),(ba内可导，如果0)(xf，则)(xf在),(ba内单调增加；如果0)(xf，则)(xf在),(ba内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，0)(xf；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，0)(xf；7、取得极值的必要条件可导函数)(xf在点0x处取得极值的必要条件是0)(0xf8、取得极值的充分条件第一充分条件：设)(xf在点0x的某空心邻域内可导，且)(xf在0x处连续，则（1）如果0xx时，0)(xf;0)(0xfxx时，,那么)(xf在0x处取得极大值)(0xf；（2）如果0xx时，0)(xf；0)(0xfxx时，，那么)(xf在0x处取得极小值)(0xf；（3）如果在点0x的两侧，)(xf同号，那么)(xf在0x处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数)(xf在点0x的某邻域内具有一阶、二阶导数，且0)(0xf，0)(0xf则（1）如果0)(0xf，那么)(xf在0x处取得极大值)(0xf；（2）如果0)(0xf，那么)(xf在0x处取得极小值)(0xf9、凹凸性的判定设函数)(xf在),(ba内具有二阶导数，（1）如果),(,0)(baxxf，那么曲线)(xf在),(ba内凹的；（2）如果),(,0)(baxxf，那么)(xf在),(ba内凸的。图像表现：凹的表现凸的表现10、渐近线的概念曲线)(xf在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（1）水平渐近线：若Axfx)(lim,则)(xfy有水平渐近线Ay(2)垂直渐近线：若存在点0x，)(limxfx，则)(xfy有垂直渐近线0xx（2）求斜渐近线：若baxxfaxxfxx)(lim,)(lim，则baxy为其斜渐近线。11、罗比达法则遇到“00”、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。如果遇到幂指函数，需用)(ln)(xfexf把函数变成“00”、“”。第二讲导数与微分1、导数的定义（1）、0)()(limlim)(00000xfxxfyxfxx（2）、hxfhxfxfh)()(lim)(0000（3）、000)()(lim)(0xxxfxfxfxx注：使用时务必保证0x后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、导数几何意义：)(0xf在0xx处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与)(0xf乘积为—13、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、求导方法总结（1）、导数的四则运算法则vuvuuvvuvu)(2vuvvuvu（2）、复合函数求导：xfy是由)(ufy与)(xu复合而成，则dxdududydxdy（3）、隐函数求导对于0),(yxF，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。（4）、参数方程求导设)()(tytx确定一可导函数)(xfy，则)()(ttdtdxdtdydxdydtdxdtdxdyddxdxdyddxyd)()(22(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（6）、幂指函数求导幂指函数)()(xvxuy，利用公式aealn)(ln)()(ln)(xuxvxueeyxv然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。5、高阶导数对函数)(xf多次求导，直至求出。6、微分dxydy记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx，不需要单独记忆。7、可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导8、可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1）（2）2xy在x=0既连续又可导。xy在x=0只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、原函数：若)()(xfxF，则)(xF为)(xf的一个原函数；2、不定积分：)(xf的所有原函数)(xF+C叫做)(xf的不定积分，记作CxFdxxf)()(二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、dxxfdxxfdxfdxxf)()()()(或2、cxfdxxf)()(注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、基本积分公式2、第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、第二换元积分法baxtbax令,三角代换taxaxtaxaxtaxxatansecsin222222令令令三角代换主要使用两个三角公式：tttt2222sectan1,1cossin4、分部积分法vduuvudv第五讲定积分1、定积分定义niiixbaxfdxxf10)(lim)(如果)(xf在ba,上连续，则)(xf在ba,上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义（1）如果)(xf在ba,上连续，且0)(xf，则badxxf)(表示由)(xf，,,bxaxx轴所围成的曲边梯形的面积。S=badxxf)(。（2）如果)(xf在ba,上连续，且0)(xf，S=badxxf)(。3、定积分的性质：（1）badxxkf)(badxxfk)(（2）badxxgxf)()(=badxxf)(badxxg)(（3）cabcbadxxgdxxfdxxf)()()(（4）abaabadxxfdxxfabdx)(0)(1badxxf)(（5）如果)()(xgxf，则babadxxgdxxf)()(（6）设m,M分别是)(xf在ba,的min,max,则)()()(abMdxxfabmbaMm记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积（7）积分中值定理如果)(xf在ba,上连续，则至少存在一点ba,，使得))(()(abfdxxfba记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。称badxxfab)(1为)(xf在ba,上的平均值。4、积分的计算（1）、变上限的定积分xaxfdttf)())((注：由此可看出来xadttfx)()(是)(xf的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是x而不是t（2）、牛顿—莱布尼兹公式设)(xf在ba,上连续，)(xF是)(xf的一个原函数，则)()()()(aFbFxFdxxfbaba由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。