物理—振动与波动.

第四章物体在一定的位置附近作来回往复的运动。机械振动：振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。波动：振动状态在空间的传播。1、物体的来回往复运动（弹簧振子、单摆等）2、电流、电压的周期性变化机械振动的原因：物体所受的回复力和物体所具有的惯性可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐振动。一般机械振动（曲线）分解直线振动付里叶级数展开简谐振动§4-1简谐运动4-1-1简谐运动的基本特征位移与时间的关系：凡质点的运动遵从余弦（或正弦）规律时，其运动形式为简谐振动。)cos(tAyyt动力学描述物体（质点）在弹性力（符合虎克定律F=-kx）或准弹性力（与弹性力性质相似的力）的作用下的振动。即力的大小总是与质点位移成正比，方向与位移相反。makxfxmka运动学描述物体的加速度的大小总是与位移成正比，方向与位移相反。（总是指向平衡位置）运动方程及解kxxm0xmkxmk202xx令：简谐振动的运动方程微分方程的解：A、为积分常数，由初始条件确定。tAxcosxo1.弹簧振子：一根轻弹簧和一个刚体构成的一个振动系统。Fx根据胡可定律：（k为劲度系数）xkF（1）在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。（2）弹性力F和位移x恒反向，始终指向平衡位置。由牛顿第一定律：xkdtxdmF22xmkdtxd22得:令mkxdtxd222结论：（1）弹簧振子的振动为简谐振动。（2）kmT22周期：mk角频率：（3）弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（k和m）有关，而与其它因素无关。固有频率：振动频率只取决于谐振系统本身的各个参量，而与其它因素无关。OlmgT22ddsintsmmgls很小又22ddsintmlmg2、单摆sinlgt22dd结论：单摆的振动是简谐振动。lgglT20dd22lgttcos00（1）为振动角位移，不是相位。为振幅。（2）、T与m无关，但T与l成正比、与g成反比。tAxcos简谐运动表达式：简谐运动：物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。xkFxdtxd222tAxcos简谐运动的三项基本特征：归纳)2cos()sin(tvtAdtdxvm简谐运动的速度：简谐运动的加速度：)cos()cos(2tatAdtdvamOTωAtxax,,vAAavOAω24-1-2描述简谐运动的物理量tAxcosA：振幅，（最大位移，x=±A）变量x离平衡位置的最大位移量的绝对值。周期T：完成一次全振动所经历的时间。：角频率，（圆频率）2频率：单位时间内完成全振动的次数。T2TtAtAcoscosTttcoscos2,2TT余弦函数的周期为21T2弹簧振子的频率:mkν21弹簧振子的周期:kmT22结论：弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（k和m）有关，而与其它因素无关。由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为固有频率和固有周期。：振动的“初相位”。（t+)：振动的“相位”。决定了谐振动的运动状态t=0时的相位)2cos()sin(tvtAdtdxvm称为速度幅。速度相位比位移相位超前/2。Avm)cos()cos(2tatAdtdvam称为加速度幅。加速度与位移反相位。Aam2比较：tAacos2tAxcos结论：作简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比，而方向相反。xa2即xdtxd2224-1-3简谐运动的旋转矢量表示法旋转矢量A在x轴上的投影点M的运动规律：)cos(tAx结论：投影点M的运动为简谐振动。yxotAPM•旋转矢量A旋转一周，M点完成一次全振动。•旋转矢量的模A：振幅•旋转矢量A的角速度：角频率•t=0时，A与x轴的夹角：初相位。•旋转矢量A与x轴的夹角(t+)：相位2T周期：必须是逆时针方向旋转简谐振动矢量图与振动曲线振动曲线的讨论（1）曲线反映的是质点的振动情况。一个质点的运动方向（速度方向）如图。峰值v=0，其余点看后。（2）图上反映出周期T、振幅A、初位相、位相。xt（3）时间与位移的关系：tAxcos如质点从平衡点到峰值点所需时间t；位相差与时间的关系：t以上的讨论在单位圆上较为方便。x（4）质点的受力方向及加速度的方向f=-kx质点受力f方向与位移方向相反；加速度a的方向与f相同。（5）质点的动能及势能的最大点和最小点位置。动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能的最大点在峰值位置，最小点在平衡位置。x解题方法由初始条件求解振幅和初相位：设t=0时，振动位移：x=x0振动速度：v=v0)(costAxcosAxo)(sintAvsinAvo2020vxAcosAxosinAvo2222222)cos(sinAAvxooooxvtg不唯一具体分析：0,000vx在第四象限0,000vx在第一象限0,000vx0,000vx在第三象限cosAxosinAvoy或者直接从矢量图上分析。定后，可能处在二个象限之一，再利用的方向0x0v0,000vv还是最后定出的象限。tAxcoscosAkAcoskkAx0（2）若已知t=0时，k为常数，则再已知质点的运动方向即可得有二个值，从矢量图上，利用v的方向可定出。总之，不管怎样，只要知道初始条件，即可利用方程（一般为位移方程和速度方程）来求得积分常数A、。ttvy,AvmaxAa2max（3）有时，已知的不是t=0时的x、v，同样可以利用位移方程，速度方程、加速度方程求A，。如已知t时刻的等。特别要注意利用、例1一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动。求1、振动方程。2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：设简谐振动表达式为已知：A=12cm,T=2s，12sT初始条件：t=0时，x0=0.06m,v00)(costAxtxcos12.00.06=0.12cos3cos210sin0Av0sin3振动方程：)3cos(12.0txyx3315.05.05.0189.0)3sin(12.0smtdtdxvttt25.025.05.0103.0)3cos(12.0smtdtdvattt设在某一时刻t1，x=-0.06m)3(cos12.006.01t代入振动方程：21)3(cos1t343231或tstt132311x3234stt61123322sttt651611126565653223tt用旋转矢量解x322/3例2两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x2=-A/2处，且向右运动。求这两个质点的相位差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t0)(sin1t0)(sin11tAv31t解：A-AoA/2-A/2322t)cos(22tAA0)(sin22tAv322t)()(21tt)32(3A-AoA/2-A/20sintx用旋转矢量解例3一轻弹簧一端固定，另一端连一定质量的物体。整个振动系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：1、简谐振动方程；2、物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。svmx0.6,0,04.000mxvxA04.00202020振幅：mtx)0.6(cos04.0得：000xvarctg解：AxttAxarccos)cos()3(sin0.604.0sintAv)35(321arccos2arccos或AAt3,2:tAxAx按题意1208.0sm先求位相3t)3(sin0.604.0sintAv1208.0sm用矢量圆解2:AxAx按题意51226523cos403cos42T例4：一简谐振动曲线如图所示，则振动周期x（m）t（s）421（A）2.62s（B）2.40s（C）0.42s（D）0.382sKey：B例5质量为m的比重计，放在密度为的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：取平衡位置为坐标原点平衡时：0Fmg浮力：VgF其中V为比重计的排水体积0mgF2222dtxdmgxdVmgxmgddtxd42222222dtxdmxdgVgmg0xxmgd2gmdT42例题6证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为mkkkk212121证：21212121111kkkkfkfkffffxxx21212121212122kkkkmTkkmkkmkkkkkkmkkkk212121是否为简谐振动，振动周期怎样计算mXFO例7：如图有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。)(204.02405.01022212121222mkFSAkAkSmvFS解：AyttAy0)cos(12624smk)().2cos(204.0SIty例8.一劲度系数为k的轻弹簧，在水平面作振幅为A的谐振动时，有一粘土（质量为m，从高度h自由下落），正好落在弹簧所系的质量为M的物体上，求（1）振动周期有何变化？（2）振幅有何变化？设（a）粘土是在物体通过平衡位置时落在其上的；（b）粘土是当物体在最大位移处落在其上的。kMmh解：（1）下落前kMT22下落后TkmMT22（2）（a）在平衡位置落下下落前：A，v222121vMkA下落后：v，A222121vmMAk由机械能守恒：水平方向动量守恒：vvmMM得AAmMMA（b）在最大位移处落下下落前：A，v=0下落后：0v，A所以振幅不变：AA4-1-4简谐运动的能量)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子动能：振子势能：xxovtxEkEtpEOO谐振系统的总机械能：pkEEE)