物理竞赛课件14刚体动力学运动学问题

刚体♠不发生形变的理想物体实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视作刚体．刚体内各质点之间的距离保持不变刚体的平动与转动♠刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、位移）总是相同，这种运动称为平动．刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便称为轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴转动．刚体内各质点角速度总相同质心质心运动定律♠能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外力集中于此的某一点.从质心的等效意义出发:0xx1x2m1m2iiCiiiCiiiCimxxmmyymmzzm以质心为坐标原点r=0im=cFma例讲例讲xitan-1kH=Hhnn2=iHHmkinnO1limniinicmxxV212lim/3nniHHHkiinnnkH34113limnniHin34CxHxy0=2nnRi=2iini212lim2cos(cos)sin=niiiniCmRRRRxm214limcossinniiniR1limsin3sinniiniR1limsin3sinniiniR11sin3sin3sinsin232222lim23322sinsin22nnnnnR211lim2322nR43CxR对题中圆盘:212344cRx22123412344443cRRRy0cx815cRy如图，一个圆盘半径为R，各处厚度一样，在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则不同，它们的密度之比为∶∶∶＝1∶2∶3∶4，求这圆盘的质心位置．12341yx432解:21234443RR返回概要2hh以静止水的质心为坐标原点，建立如图所示坐标，Oxy当振动高度为Δh时，质心坐标为：111222322262324LLLLLLLhhhxLhhh212222236hhhhhLhLhyLhhh由上可得226yhxLOxymgF回yFmgx质心沿抛物线做往复运动,回复力为重力之分力:2226xxxhmgLx212mghxL质心做谐振,周期为2212TLhg转动惯量♠量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘积的总和.2iiJmr例讲2Jmr21limniiniJmr221lim2nnimrrriinnnr23411lim2nnimrin212Jmr22122rrJm212Jmr212Jmr转轴214Jmr22412mrmlJ21limniiniJmrxy0Rii=2nn=2iin214limsin4ninimrn2222211limsinsin2sinsin22nnimrnn项212Jmr2cJJmd设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有miRiridxCyθiO222112cosnniiiiiiiJmrmRddR221112cosnnniiiiiiiiimRmddmR1niiimx0mR2cJJmd由22mRmR22mR22112lim4222nnimmlJrinnn22231lim44nnimrmlin22412mrmlMM2a2aO22MaJ圓22cJJMa杆C212lim2ncniMaaJiann其中2243MaMaOJJJ圓杆2296Ma212nxyziiiJJJmr对任意的刚体，任取直角三维坐标Oxyz，刚体对x、y、z轴的转动惯量分别为Jx、Jy、Jz，则有221nxiiiiJmyzxyzOxiyizirimi221nyiiiiJmxz221nziiiiJmxy22212xyzniiiiiJJJmxyz2ir2132limniiniJmr22mr223Jmr球壳实心球2132limniiniJmr22312lim44/3nnimrrriinnnr245116limnnimrin225Jmr解:xx已知:Jx=J00yxJJJy202iiJmryOxJ求:?yxJJ22xiiJmr0xJJ解:RZ1Z2Z４Z３222xziiJJmr2342ziiJJJmr342xJJJ22mR222412mRmR21324xmRJZ如图所示，质量为m的均匀圆柱体，截面半径为R，长为2R．试求圆柱体绕通过质心及两底面边缘的转轴（如图中的Z1、Z2）的转动惯量J．yxO由正交轴定理:22ABiiiJJmxy由椭圆方程:22221xyAB解:2222iAAyB2222ABABAJJmAJB222ABJAmAJB椭圆细环的半长轴为A，半短轴为B，质量为m（未必匀质），已知该环绕长轴的转动惯量为JA，试求该环绕短轴的转动惯量JB．221niiiJmrkma转动惯量的表达式常表现为形式m是刚体的质量，a是刚体相应的几何长度，只要确定待定系数k，转动惯量问题便迎刃而解．OOaM2OOJkMa设则有22244244MaMakkMa112k212OOMaJPQOC32d将立方体等分为边长为a/2的八个小立方体，其中六个小立方体体对角线到大立方体体对角线距离解:26263ada222226828286mamamakmakk16k26PQJma如图所示，匀质立方体的边长为a，质量为m．试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J．O描述转动状态的物理量♠θ0limtt0limttar2iiiiimvrmLrJ2222111222iiikimvmrJEMFdAMIMt刚体的定轴转动与质点的直线运动♠角动量原理Mt＝Jωt－Jω0动量定理Ft＝mvt－mv0(恒力)转动定律M=J牛顿运动定律F＝ma匀变速直线运动匀速直线运动:s＝vt加速度a角速度速度v角位移θ位移s刚体的定轴转动质点的直线运动0limtsvt0limtt0limtvat角加速度0limtt匀角速转动:t匀变速转动:0tvvat2012Svtat2012tt2202tvvaS0tt2202t动能定理转动动能定理2201122tFSmvmv2201122tMJJ动量守恒定律mv恒量角动量守恒定律J恒量飞轮质量60kg,直径d=0.50m闸瓦与轮间μ=0.4;飞轮质量分布在外层圆周,要求在t=5s内制动,求F力大小.解:221000220ss6053t1000r/minF0.50m0.75m对飞轮2215kgm24dJmfMJ其中fN2fdMN对制动杆FNf0.51.25NF52F100NFAB质量为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下,求夹角为θ时,质心速度及杆的角速度BC解:质心不受水平方向作用,做自由下落运动!由机械能守恒:22111cos222lmgmvJvvBvn由相关速度:sinsin2nlvv杆对质心的转动惯量:221lim212nnimllmlJilnn2121cos13singl231cossin13sinvgl着地时,两杆瞬时转轴为A(B)解:BA由机械能守恒:212222hmgJ其中各杆:2221223mllmlJmcvl221223cvmlmghl則3chvg得vch如图，两根等重的细杆AB及AC，在C点用铰链连接，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置无初速地开始运动，求铰链C着地时的速度．轴心降低h过程中机械能守恒解:Bhv212PmghJ其中圆柱体对轴P的转动惯量222322PmrmrJmrPvr23vghT由转动定律:TrJ22mrarmgTma由质心运动定律:13Tmg如图，圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力．纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒:解:vc0ωc0h22220011222mrmghJmr2043ghr与墙弹性碰撞,质心速度反向,角速度不变,此后受摩擦力作用经时间t达纯滚动:vc0ωc0vctωct由动量定理0tftmrr由角动量定理0ctfrtJ2233tghr纯滚动后机械能守恒:221322tmrmgh9hh如图，实心圆柱体从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为μ，试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′.由机械能守恒:解:22220011()()22ttmgsImvv2vs又2202224tmvvgsImsg0'tvvgt224mggIms竖直方向匀加速下落!如图，在一个固定的、竖直的螺杆上的一个螺帽，螺距为s，螺帽的转动惯量为I，质量为m．假定螺帽与螺杆间的摩擦系数为零，螺帽以初速度v0向下移动，螺帽竖直移动的速度与时间有什么关系？这是什么样的运动？重力加速度为g．解:vvR12v2vR11v1vR12v22vR⑴完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动，质心速度为v1、v2，对球1：1121125ftmvvmRvfRtRR，127vv对球2：2222225ftmvvvmRfRtR257vv在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度为v，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计．试求⑴碰后两球达到纯滚动时的质心速度；⑵全部过程中损失的机械能的百分数．续解⑵系统原机械能为222201272510mrvmvEmrr达到纯滚动后的机械能2222172529257770tmRvvEmvRR204149則%读题圆柱