特征根法不能求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程的原因李亭亭

1特征根法不能求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程的原因李亭亭学号：100701081年级专业：10级数学与应用数学专业性别：女手机号码：[phone]电子邮箱：1069182716@.com(安徽师范大学，安徽省芜湖市，241000)摘要：特征根法可以求解常系数线性微分方程，也可以求解欧拉方程，但是不能求解一般的变系数线性微分方程。本文研究了一般的二阶变系数齐次线性微分方程不能用特征根法求解的原因，给出了二阶变系数齐次线性微分方程的一种解法，建立了相应的通解公式，并运用该解法去求解实例。关键词：二阶变系数齐次线性微分方程；特征根法；Riccati方程；通解。CharacteristicrootmethodcannotsolvethegeneralsecondordervariablecoefficienthomogeneousLDELiTingting(anhuinormaluniversity,wuhu,anhuiprovince,241000)Abstract:Characteristicrootmethodforsolvingconstantcoefficientlineardifferentialequation,eulerequationcan2besolved,butcan'tsolvetheordinaryLDEwithvariablecoefficients.ThispaperstudiesthegeneralsecondordervariablecoefficienthomogeneousLDEcannotusecharacteristicrootmethod,givesthesecondordervariablecoefficienthomogeneousLDEofakindofmethod,establishedthecorrespondingformulaofgeneralsolutionandthesolutiontosolvetheinstance.KeyWords:SecondordervariablecoefficienthomogeneousLDE;Characteristicrootmethod;Riccatiequation;Thegeneralsolution.引言求解常系数线性微分方程的方法有特征根法、比较系数法、拉普拉斯变换法等，但是到目前为止，二阶变系数线性微分方程仍然没有一般的求解方法。我们知道，特征根法适用于求解常系数线性微分方程，对于变系数微分方程来说，只有欧拉方程可以用特征根法求解。因此，本文探索了特征根法不能求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程的原因，并给出了二阶变系数齐次线性微分方程的一种解法，建立了相应的通解公式。1.特征根法不能求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程的原因设二阶变系数齐次线性微分方程为322()()0dydypxqxydxdx（1.1）其中()px、()qx为x的函数。如果方程（1.1）是二阶的欧拉方程，则可以使用特征根法求解该方程。如果方程（1.1）是一般的二阶变系数齐次线性微分方程，则仿照常系数齐次微分方程的特征方程的建立过程，我们知道一阶变系数齐次线性微分方程()0dypxydx有形如()pxdxye的解，且其通解为()pxdxyce（c为任意常数）。因此我们试求方程（1.1）的指数函数形式的解()xye（1.2）其中()x是关于x的函数。注意到()''()xyxe()2()''''()['()]xxyxexe因此将上两式带入方程（1.1）可得：()2()()()''()['()]()'()()0xxxxxexepxxeqxe即：2''()['()]()'()()0xxpxxqx（1.3）易知，（1.2）为方程（1.1）的解当且仅当()x是二阶非线性微分方程（1.3）的解。如果按照常系数齐次微分方程的说法，那么方程（1.3）应该是方程（1.1）的“特征方程”，而()x就是“特征根”。下面我们对方程（1.3）做变量代换：4由于方程（1.3）不显含未知函数，故可令'，则方程（1.3）化为：2'()()0pxqx进而有：2'()()pxqx（1.4）方程（1.4）即为我们熟知的Riccati方程。我们都知道，早在1841年，法国数学家刘维尔Liouville就已证明Riccati方程一般没有初等解法。而n阶常系数微分方程中所使用的特征根法是通过其特征方程求解出特征根，进而表示出该微分方程的n个线性无关的解，则该微分方程的通解就可表为这n个线性无关的解的线性组合。但是此处，要想求解方程（1.1），则必须就解方程（1.4），但是方程（1.4）一般没有初等解法，因此，特征根法不能用于求解一般的二阶变系数齐次线性微分方程。2.二阶变系数齐次方程的一个解法及其应用通过上述研究，假设方程（1.1）的通解形如()xye，那么只要能求出()x，就能写出方程（1.1）的通解表达式了。若要求解()x，就要先求解方程（1.4）。设()x是方程（1.4）的一个特解，则做变换z可将（1.4）化为2(2()())dzxpxzzdx（2.1）方程（2.1）是伯努利方程，因此其通解为：5(2()())(2()())11()xpxdxxpxdxzeedxc即(2()())(2()())11[()]xpxdxxpxdxzeedxc（2.2）进而可得方程（1.4）的通解可表为z即(2()())(2()())11[()]()xpxdxxpxdxeedxcx（2.3）故方程（1.3）的通解为：2()xdxc即(2()())(2()())112(){[()]()}xpxdxxpxdxxeedxcxdxc（2.4）因此方程（1.1）的通解可表为：2()()xdxcxyee即(2()())(2()())112{[()]()}xpxdxxpxdxeedxcxdxcye（2.5）因此，若我们有办法找到方程（1.4）的一个特解，那么方程（1.1）的通解就能按上述方法求出来了，且（1.1）的通解就是（2.5）。例2.1.求二阶变系数齐次线性微分方程6211'''0yyyxx的通解。解：211(),()pxqxxx设其通解为()xye，则与其相对应的Riccati方程为：2211'yxx易知1x是它的一个特解，根据式（3.3）可得该Riccati方程的通解为：331131111[()]12dxdxxxeedxcxxcxx从而2121()()ln||2xxdxccxcx故所求方程的通解为：121ln||()2121cxcxxyeecxcx其中1c，2c为任意常数。例2.2.用上述方法求方程''2'0yyy的通解。解：()2,()1pxqx设其通解为()xye，则与其相对应的Riccati方程为：2'217此方程为变量分离方程，故其通解为：11()1xxc从而：212()()ln||xxdxcxcxc故所求方程的通解为：()12()xxyeecxc其中1c，2c为任意常数。3.一种特殊情况由上述推理，易得如下结论：定理对于方程（2.1），若系数(),()pxqx满足()()10pxqx，则方程（2.1）的通解为：(2())(2())112{[()]1}pxdxpxdxeedxcdxcye.证明：当方程（2.1）的系数(),()pxqx满足()()10pxqx时，易知与其对应的Riccati方程的一个特殊解为1，将该特殊解带入（3.5）式即可得定理中的结论。类似的，当方程（2.1）的系数(),()pxqx满足()()10pxqx时，1。由该定理可得：推论对于方程（2.1），若系数(),()pxqx满足()()0pxqxa（a为任意常数），则方程（2.1）的通解为：8(2())(2())112{[()]}apxdxapxdxeedxcadxcye.证明：类似于上述定理的证明。参考文献[1]张清芳,库在强.用观察法求某些二阶变系数齐次方程的通解[J].高等数学研究,2005,8(3):47-48.[2]王高雄.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1985:101—163[3]李永利,桑改莲.一类二阶变系数齐次微分方程通解的求法[J].高等数学研究,2006,9(3):22-24.[4]李录苹,王通.关于几类二阶微分方程的解法[J].雁北师范学院学报,2006,22(02):71—72