现代控制原理第1章.

第1章系统的概念与数学基础之现代控制理论感性认识----理性思考电气工程学院自动化专业本章内容系统及其模型线性空间与坐标变换多项式矩阵矩阵的特征值与特征向量向量与矩阵范数线性二次型及矩阵的正定性有理函数矩阵矩阵指数函数与计算一阶常微分方程及其解线性系统与相关问题说明动态系统控制的概念及几个基本步骤系统及其模型系统的概念、特征与分类定义特征系统状态的表示状态运动的原因分类动态系统与建模定义、表征基本形式分类建模实质与原则建模方法系统的概念、特征与分类定义由相互关联和相互制约的若干“部分”(元)所组成的具有特定功能的一个“整体”特征多元性相关性整体性相对性抽象性系统状态的表示特征“变”量状态运动的原因外部环境影响内部组成部分的相互作用分类静态系统动态系统广义系统动态系统与建模-1定义动态系统指系统状态变量随时间或空间发生演化的系统状态变量被定义为时间或空间的函数状态指足以描述系统过去与现在演化特性的性状的最小集合动态系统的行为表征由各类变量间的关系表征输入变量状态变量输出变量动态系统与建模-2动态系统的描述基本形式“白箱”“黑箱”系统动力学系统输出u1x1y1……………………upxnyq反映内部变量组与输入变量组间的因果关系反映内部变量组与输出变量组间的因果关系系统u1y1upyq…………动态系统与建模-3动态系统的分类按系统机制来分：连续变量动态系统(CVDS)、离散事件动态系统(DEDS)按系统特性来分：线性系统(LS)、非线性系统(NLS)按系统参数分布性来分：集中参数—单维系统(LPS)、分布参数—多维系统(DPS)按系统作用时间来分：连续时间系统(CTS)、离散时间系统(DTS)按参数随时间变化性来分：定常系统(TIS)、时变系统(TVS)按系统确定性分：确定性系统、不确定性系统动态系统与建模-4例1-1：判断下列方程中所描述系统的类型，初始条件松弛。2()5()()()ttytyteytut0()2()2()()2utytutut2222uuAEAtx动态系统与建模-5系统模型作用与建模实质建立工程系统模型两种途径机理建模系统辨识建模原则在模型的简练性和分析结果的准确性间作出适当的折衷本章内容系统及其模型线性空间与坐标变换多项式矩阵矩阵的特征值与特征向量向量与矩阵范数线性二次型及矩阵的正定性有理函数矩阵矩阵指数函数与计算一阶常微分方程及其解线性系统与相关问题说明动态系统控制的概念及几个基本步骤线性空间与坐标变换线性空间数域线性空间线性相关性坐标转换的实质线性映射与线性变换线性映射线性(坐标)变换线性变换的目的线性空间数域：设P是包含0和1在内的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍是P中的数，则称P为一个数域。如常用的数域有Q(有理数域)、R(实数域)、C(复数域)。例：判断是否是数域(2){2,}ababPQ{0,1,2,3,}N是否线性空间线性空间：称V={P,+,•}为线性空间，对若运算满足：a.加法交换律;b.加法结合律;c.有0元(V中的元素)且0元是唯一的；d.V中任意元素α有负元α’且负元唯一；e.1•α=α；注意这里的1是P中的元素；f.k•(m•α)=(km)•α；g.(k+m)•α=k•α+m•α；h.k•(α+β)=k•α+k•β。,,,kmP;V线性空间思考：若k•α=0，那么k=0或α=0。为何？例：判断是否是线性空间全体正实数，对于如下定义的加法与数量乘能够成实数域上的线性空间吗？否,kababkaa线性空间线性相关性：设V是数域P上线性空间，α1、α2、…、αr(r≥1)是V中向量(可以是矩阵或更高维的)。如果存在r个不全为0的k1、k2、…、kr∈P，使k1α1+k2α2+…+krαr=0，则称α1、α2、…、αr线性相关(其中一个向量必要被其它的向量线性表示)；反之称为线性无关。例：判断线性相关性221112212210010000,,,00001001EEEER线性无关性线性空间线性空间维数：如果线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关向量，则称V是n维的，记dim(V)=n。线性空间的基：dim(V)(=n)个线性无关的向量（比如为α1、α2、…、αn）称为V的一组基。V中其它任一向量α均可由这组基唯一表示111221nnnnxxxxxαααααα坐标向量线性空间坐标变换的实质令Rn的两组基分别为111111,nnnnnnnxxxxxxααeeeeeePR,1,2,,,,1,2,,ijinjnee11nneeeeP11nnxxxxP基于任意属于Rn的一个元素对应于某一基的坐标与这一元素对应另一基的坐标之间可以通过基与基之间的坐标转换实现。线性空间例：已知R4中的两组基求(1)由基ε到基η的过渡矩阵(2)在两组基下的坐标表示TTTT12341000,0100,0010,0001εεεεTTTT12342111,0310,5321,6613ηηηηT1001ξ线性映射与线性变换线性映射：设V1、V2是数域P的两个线性空间，T是V1到V2的一个映射，如果α1、α2∈V1和n、m∈P，均有T(nα1+mα2)=nT(α1)+mT(α2)，则称T是V1到V2的线性映射(同态映射)。若T是一个一一映射，则T称为同构映射。同构映射要求V1、V2的维数相等。线性映射T的值域R(T)=Im(T)={T(α)|α∈V1}，它是V2的子空间。线性映射T的核Ker(T)=N(T)={α∈V1|T(α)=0}，它是V1的子空间。线性映射与线性变换线性映射性质线性映射由基像组唯一确定。映射，ζ1、ζ2、…、ζn和η1、η2、…、ηm分别是V1和V2中的基，，则线性映射T的值域是由基像组张成的空间R(T)=span{T(ζ1),T(ζ2),…,T(ζn)}T的秩rank(T)=dim(R(T))=rank(A)rank(T)+dim(ker(T))=n若对，若干有，则线性映射在不同基对下的矩阵间是相抵的。1212:,,nmTVVVRVR1212(),(),,(),,,nmTζTζTζηηηA11,()=nniiiiiixyαTαη1Vα11mnyxyxA线性(坐标)变换：设V是数域P上线性空间，V到自身的线性映射称为V上线性变换。设是V上的一组基，则线性映射与线性变换1111212313121212223232112233123123()()..()(,,,,)(,,,,)nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaTεεεεεTεεεεεTεεεεεTεεεεεεεεA123,,,,nεεεε基向量的像仍可用基线性表示。线性映射与线性变换重要性质：说明一下：线性空间V上的线性变换T在V的两组基下的矩阵分别为A和B，，则B=P-1AP。思考：如何说明正确性？,1,2,,,,1,2,,ijinjnee11nneeeeP线性映射与线性变换例：求映射在基下的变换阵线性空间的基为，线性变换为(1)求T在基下的矩阵。(2)求T的值域与核。1234{,,,}εεεε4VR1234123410211213(,,,)12552212Tεεεεεεεε11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε线性映射与线性变换线性变换的目的：通过相似变换实现其相应的矩阵具有较简洁的形式，这在系统中体现为消除系统变量间的耦合关系。标准正交变换可以保持坐标范数的一致性，而其他线性变换却不能。向量还是原来的，只是在不同坐标系(基)下坐标值不一样。xPza11()xx22()xx31本章内容系统及其模型线性空间与坐标变换多项式矩阵矩阵的特征值与特征向量向量与矩阵范数线性二次型及矩阵的正定性有理函数矩阵矩阵指数函数与计算一阶常微分方程及其解线性系统与相关问题说明动态系统控制的概念及几个基本步骤多项式矩阵多项式矩阵的概念初等变换与初等矩阵及其多项式矩阵的等价性多项式矩阵间最大公因子与互质性基于矩阵次数的多项式矩阵表达式及其既约性Smith标准型多项式矩阵的概念多项式矩阵多项式方阵奇异与非奇异、多项式方阵的逆多项式矩阵列(行)简约性多项式矩阵的秩及性质单(幺)模矩阵det(())scA()[()][]mnijmnsassAR初等变换与初等矩阵及其多项式矩阵的等价性三种基本情形：(1)矩阵的两行或两列交换(2)矩阵的某一行或列乘以非零常数(3)矩阵的某一行或列加上另一行或列的φ(s)倍初等矩阵E获得r1rc1c()(,)();()()(,)sijsssijAEAAAEr2rc2c()(,)();()()(,)sicsssicAEAAAEr3rc3c()(,,())();()()(,,())sijssssijsAEAAAE初等变换与初等矩阵及其多项式矩阵的等价性关于多项式初等变换一些重要结论任何一个单模矩阵都可以化为若干个初等矩阵的乘积。对于一个多项式矩阵，左乘一个单模矩阵等效于进行若干次初等行变换。对于一个多项式矩阵，右乘一个单模矩阵等效于进行若干次初等列变换。单模变换不改变多项式矩阵奇异性和单模性。多项式矩阵等价()()()()ssssBTAQ单模多项式矩阵间最大公因子与互质性公因子与最大公因子的定义右公因子与最大右公因子左公因子与最大左公因子例：()()(),()()()ssssssDDRNNR()()(,()()()ssssssDLDNLN2111121()0102022242011()020102ssssssssssssssDN多项式矩阵间最大公因子与互质性最大公因子的计算方法最大右公因子最大左公因子例：11122122()()()()()()()()()()0ssssssssssUUDDRUUUNN11122122()()()()()()()()0()()ssssssssssUUDNUDNLUU2224121(),()0202sssssssssDN多项式矩阵间最大公因子与互质性最大公因子的性质最大公因子的不唯一性，两个不同的最大公因子之间只相差一个单模矩阵。最大公因子在非奇异性和单模性上的唯一性。最大公因子非奇异的条件是由矩阵对构成的广义矩阵满秩。最大公因子中元多项式次数可能大于矩阵对中元多项式次数。多项式矩阵间最大公因子与互质性互质性定义如果两个列数相同的多项式矩阵D(s)和N(s)的最大右公因子是单模矩阵，则称他们是右互质的。如果两个行数相同的多项式矩阵D(s)和N(s)的最大左公因子是单模矩阵，则称他们是左互质的。多项式矩阵间最大公因子与互质性互质性的判别Bezout互质判据右左秩判据基于行列式次数的判据()rank,()spssDNC()()()()ssssDXNYIrank()()