现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲.

1第四章线性控制系统的能控性和能观测性ModernControlTheory2第四章线性控制系统的能控性和能观测性本章主要内容线性连续系统的能控性线性连续系统的能观性对偶原理线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的结构分解传递函数矩阵与能控性、能观性的关系34.3对偶原理一、线性定常系统的对偶关系11111111xCyBxAx1u22222222xCyBxAx2u设有两个系统，一个系统另一个系统T12T12T12BC,CB,AA21若满足下列条件，则称与是互为对偶的。r维输入,m维输出n的阶系统维输入,mr维输出n的阶系统44.3对偶原理1系统结构图2系统结构图输入输出互换；信号传递反向；信号引出与综合点互换；各矩阵转置。54.3对偶原理11111B)AI(C)(ssGT11T1T121222C)AI(BB)AI(C)(sssGT1111T1T11T1]B)AI(CC])AI[(Bss[)(T1sG1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。2、互为对偶的系统，其特征值相同。1T12AIAIAIsss64.3对偶原理二、对偶原理2)(1111C,B,A)(2222C,B,A系统与是互为1能观性,的能观性等价于的能控性。或者2的能控性等价于1对偶的两个系统，则的是状态完全能控的（完全能观的），1说，若是状态完全能观的（完全能控的）。2则能控能观能观能控21217例如：能观标准形---显然能观的能控标准形——显然能控的4.3对偶原理8好处对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析十分方便。能控标准型对于状态反馈比较方便能观标准型对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标准型、约当标准型）4.4线性系统的能控标准形和能观标准形9能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的A和C表现为能观的标准形式。能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的A和B表现为能控的标准形式。4.4线性系统的能控标准形和能观标准形104.4线性系统的能控标准形和能观标准形实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换关键：在于寻找相应的变换矩阵。理论依据：非奇异变换不改变系统的自然模态及能控、能观性注意：只有系统完全能控（能观）才能化成能控（能观）标准型114.4线性系统的能控标准形和能观标准形一、能控标准形uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000010000101211210121x1210nCCCCy如果一个系统的状态空间表达式为：能控标准形则，该系统一定完全能控。12回顾：第二章讲过，根据传递函数1210100001000010naaaaA1000b110,nbbbCCxbAxxyu可写出其状态空间表达式：能控标准形0111012211)(asasasbsbsbsbsGnnnnnnn134.4线性系统的能控标准形和能观标准形若系统是完全能控的，则必定存在非奇异线性变换或使其变换成能控标准形：CxybuAxx设系统的状态空间表达式为：xPx1ubxAxnBAABBQnC][1Pxx144.4线性系统的能控标准形和能观标准形xCyubxAx12101100001000010naaaaPPAA1000bbP1210nCCCC-1CPCCxybuAxx能控标准形非能控标准形xPx10111asasasAsInnn154.4线性系统的能控标准形和能观标准形121100001npbAbAbAb且线性变换矩阵：其中：证明：(由推得)PAPA1PAPA164.4线性系统的能控标准形和能观标准形3212PAPAP21PAP1212nnnPAPAPnnnPAPAP111PAPA174.4线性系统的能控标准形和能观标准形184.4线性系统的能控标准形和能观标准形例4.13试将下列系统变换为能控标准形解：（1）先判别系统的能控性1101AbbcQ2crankQ∴系统是能控的111101xxux01y194.4线性系统的能控标准形和能观标准形（2）计算非奇异变化矩阵110111AbbcQ10111P204.4线性系统的能控标准形和能观标准形（3）求得能控标准形：xCyubxAxccc214.4线性系统的能控标准形和能观标准形二、系统的能观测标准形1010212122111100001000010000001nnnnnnxaxbxaxbabuxxxaxbx1000y0111012211)(asasasbsbsbsbsGnnnnnnn则系统必定完全能观测。如果一个系统的状态空间表达式为：能观标准形224.4线性系统的能控标准形和能观标准形设系统的状态空间表达式为：CxybuAxx若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换将系统变换为能观标准形xTx~ooooxAxbuycx100111nCACACT1111nTTATATo变换矩阵为：234.4线性系统的能控标准形和能观标准形xCyubxAx~~~~~~011210000100001000001oonaaaaATAT01121onbbbbbTb0001oCCTCxybuAxx能观标准型非能观标准型xTx~o0111asasasAsInnn24例4.14111,1022xxyxO11210cUcA解：1）判断能观性能观性矩阵：试判断如下系统是否能观。如果能观，则变换成能观标准形。2）求变换矩阵25111324TTAT131101242ycTxxx264.4线性系统的能控标准形和能观标准形本节小结1、能控标准型、能观标准型的基本形式；2、牢固掌握将系统的传递函数或状态方程和输出方程转化为能控标准型、能观标准型的方法；（重点：变换矩阵）3、注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准型、能观标准型（即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控，而在化能观标准型需先判断系统是否能观）。274.5线性系统的结构分解系统中只要有一个状态变量不能控，则称系统不能控；不能控系统一般含有能控和不能控两种状态变量。只要有一个状态变量不能观，则称系统不能观；不能观测系统一般也有能观和不能观两种状态变量。把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构。因此，从能控性、能观性角度出发：状态变量可分成：能控能观状态变量、能控不能观状态变量、不能控能观状态变量、不能控不能观状态变量四类。采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，这些统称为系统的结构分解。28000cccccxxxx0cx0cxx--能控能观--能控不能观--不能控能观--不能控不能观coxcox4.5线性系统的结构分解29一、按系统的能控性分解设线性定常系统为其能控性判别矩阵，系统不能控。存在非奇异变换矩阵，对系统进行状态变换xAxBuCxynrrankcQ的构成CPxPxCCP4.5线性系统的结构分解r个线性无关列向量任意n-r个列向量30则其中：xCyuBxAx21CCCPCc011BBPBCccxxxrcRxrncRx--能控状态子向量--不能控状态子向量rn-rrn-r4.5线性系统的结构分解22121110AAAAACCPPrrnrrn31将变换后的动态方程按前r维和后n-r维展开，则有:ccxAx22uBxAxAxccc112112121yyxCxCyccCxCy2222ccxAx4.5线性系统的结构分解c1c12c11cxCBxAxAx11yu其中，r维能控子系统:n-r维不能控子系统:324.5线性系统的结构分解关键：非奇异变换阵的构造n个列向量的求法如下：1）前r个列向量是能控性判别矩阵中的r个线性无关的列；2）另外个列向量，在确保为非奇异的条件下任意选择。n1rr21cPPPPPPr21,,,PPPBAABBQ1nc)(rnn1r,,PPcP33u4.5线性系统的结构分解y1Bs/11C11A12As/12C22Acxcxcxcx1y2y按能控性分解的系统分解结构图CxCy2222ccxAxc1c12c11cxCBxAxAx11yu344.5线性系统的结构分解注意！系统按能控性分解后：1）能控性不变；2）传递函数矩阵不变；且能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同（换言之，不完全能控系统中，传递函数矩阵只描述能控子系统的特性）。11()()()GsCsIABCsIAB35由前面知识，已知，分解后的能控子系统：能控子系统的传递函数矩阵4.5线性系统的结构分解c1c12c11cxCBxAxAx11yu36例4.15、试对系统进行能控性分解。xyuxx210011310301100.322103111012rankbAAbbrankQrankc4.5线性系统的结构分解解：所以系统不能控。37若选取111211221311100112011-CCPPxPxC4.5线性系统的结构分解xCPybuPxAPPxCCCC11则通过381维不能控子系统：ccccxyuxxx11012121101ccxxcxy224.5线性系统的结构分解2维能控子系统：394.5线性系统的结构分解能控子系统：ccccxxxx11012121101yu22ycccxxx方程：同理可得分解后的动态若改选110011001cP不能控子系统:ccccxyuxxx11012121101ccxxcxy2240练习：为了进一步理解在构造变换阵列时，第n-r个列向量是任意选取的（只需保证变换阵为非奇异的前提条件下）若对例4.15，选取请自行对系统进行能控性分解。