高中数学必修4-三角函数的图像与性质

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------１三角函数的图像和性质课题三角函数的图像和性质学情分析三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。教学目标与考点分析1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用；2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．教学重点三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。教学方法导入法、讲授法、归纳总结法基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(，(π，0)，)1,23(，(2π，0)．(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(，(π，－1)，)0,23(，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------２对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：Zkk)0,2(无对称轴对称中心：Zkk)0,2(周期2π2ππ单调性单调增区间Zkkk]22,22[；单调减区间Zkkk]232,22[单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间Zkkk)2,2(奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------３双基自测1．函数)3cos(xy，x∈R()．A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数)4tan(xy的定义域为()．A．},4|{ZkkxxB．},42|{ZkkxxC．},4|{ZkkxxD．},42|{Zkkxx3．)4sin(xy的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0)B．)0,43(C．)0,23(D．)0,2(4．函数f(x)＝cos)62(x的最小正周期为________．考向一三角函数的周期【例1】►求下列函数的周期：(1))23sin(xy；(2))63tan(xy考向二三角函数的定义域与值域(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------４①形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；②形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【例2】►(1)求函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx)4|(|x的最大值与最小值．【训练2】(1)求函数y＝sinx－cosx的定义域；(2))1cos2lg(sin)4tan(xxxy的定义域(3)已知)(xf的定义域为]1,0[，求)(cosxf的定义域.考向三三角函数的单调性求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．【例3】►求下列函数的单调递增区间．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------５(1))23cos(xy，(2))324sin(21xy，(3))33tan(xy.【训练3】函数f(x)＝sin)32(x的单调减区间为______．考向四三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．【例4】►(1)函数y＝cos)32(x图象的对称轴方程可能是()．A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)若0＜α＜π2，)42sin()(xxg是偶函数，则α的值为________．【训练4】(1)函数y＝2sin(3x＋φ))2|(|的一条对称轴为x＝π12，则φ＝________.(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------６三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．【示例】►已知函数f(x)＝sin)3(x(ω＞0)的单调递增区间为]12,125[kk(k∈Z)，单调递减区间为]127,12[kk(k∈Z)，则ω的值为________．练一练：1、已知函数)33sin()(xxf（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．2、设函数)0)(2sin()(xxf的图象的一条对称轴是直线8x，则______．课后练习：三角函数的图象与性质·练习题一、选择题(1)下列各命题中正确的是[]---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------７(2)下列四个命题中，正确的是[]A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数B．y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)(3)下列命题中，不正确的是[]D．函数y=sin|x|是周期函数(4)下列函数中，非奇非偶的函数是[](5)给出下列命题：①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------８以上命题中正确命题的个数是[]A．1B．2C．3D．4[]A．sinα＜cosα＜tgαB．cosα＞tgα＞sinαC．sinα＞tgα＞cosαD．tgα＞sinα＞cosα(7)设x为第二象限角，则必有[][]二、填空题(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------９的值是______．(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．(12)给出下列命题：①存在实数α，使sinαcosα=1⑤若α，β是第一象限角，αβ则tgα＞tgβ其中正确命题的序号是______．三、解答题(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------１０答案与提示一、(1)B(2)D(3)D(4)B(5)D(6)D(7)A(8)D提示(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．(3)可画出y=sin|x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------１１(5)①=-y(sinx+2)2+3sinx=-1时，ymax=2②当cosx=-1时，f(x)max=a-b∴cosα＜sinα＜tgα---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------１２二、(9)[-2，2](10)2或3(11)y=arctg(x+2)(12)③④提示(11)C：y＝arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2