群论-第3章-转动群

1第三章转动群转动群作为连续群的典型例子，其本身在物理学中也很重要。一、转动群SO(3)1．刚体的转动群是SO(3)假想在刚体上粘附零质量的质点，将刚体扩充到整个三维空间。𝑡=0时，刚体上任意一点P的坐标记为𝑟⃗𝑃(0)=(𝑥𝑦𝑧)基点C的坐标记为为𝑟⃗𝐶(0)=𝑐⃗𝑡≠0时，P点的坐标为𝑟⃗𝑃(𝑡)=𝑓⃗𝑡(𝑟⃗)=(𝑓1(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)𝑓2(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)𝑓3(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡))其中映射𝑓⃗𝑡:𝐑𝟑→𝐑𝟑对参数𝑡连续（因为质点的位移是时间的连续函数），并且是保距映射（刚体的定义），∀𝑎⃗,𝑏⃗⃗∈𝐑𝟑,(𝑓⃗𝑡(𝑎⃗)−𝑓⃗𝑡(𝑏⃗⃗))2=(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)2相对于基点C的位移可以写成𝑟⃗𝐶𝑃(𝑡)=𝑟⃗𝑃(𝑡)−𝑟⃗𝐶(𝑡)=𝑓⃗𝑡(𝑟⃗)−𝑓⃗𝑡(𝑐⃗)定义映射𝑔⃗𝑡(𝑥⃗)≝𝑓⃗𝑡(𝑥⃗+𝑐⃗)−𝑓⃗𝑡(𝑐⃗)则𝑟⃗𝐶𝑃(𝑡)=𝑔⃗𝑡(𝑟⃗−𝑐⃗)并且(𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)−𝑔⃗𝑡(𝑏⃗⃗))2={(𝑓⃗𝑡(𝑎⃗+𝑐⃗)−𝑓⃗𝑡(𝑐⃗))−(𝑓⃗𝑡(𝑏⃗⃗+𝑐⃗)−𝑓⃗𝑡(𝑐⃗))}2={𝑓⃗𝑡(𝑎⃗+𝑐⃗)−𝑓⃗𝑡(𝑏⃗⃗+𝑐⃗)}2={(𝑎⃗+𝑐⃗)−(𝑏⃗⃗+𝑐⃗)}2=(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)2即𝑔⃗𝑡:𝐑𝟑→𝐑𝟑也是保距映射，且满足𝑔⃗𝑡(0⃗⃗)=𝑓⃗𝑡(𝑐⃗)−𝑓⃗𝑡(𝑐⃗)=0⃗⃗定理：在保距映射𝑔⃗𝑡下，矢量的模长不变、内积不变。2证明：显然(𝑔⃗𝑡(𝑎⃗))2=(𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)−𝑔⃗𝑡(0⃗⃗))2＝(𝑎⃗−0⃗⃗)2=𝑎⃗2模长不变。由三个等式𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)2+𝑔⃗𝑡(𝑏⃗⃗)2−2𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)⋅𝑔⃗𝑡(𝑏⃗⃗)=(𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)−𝑔⃗𝑡(𝑏⃗⃗))2=(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)2=𝑎⃗2+𝑏⃗⃗2−2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗(𝑔⃗𝑡(𝑎⃗))2=𝑎⃗2,(𝑔⃗𝑡(𝑏⃗⃗))2=𝑏⃗⃗2得𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)⋅𝑔⃗𝑡(𝑏⃗⃗)=𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗内积不变。定理：保内积变换𝑔⃗𝑡是齐次线性变换，并且是正交变换。证明：取三个互相正交的标准基𝑒⃗1≝(100),𝑒⃗2≝(010),𝑒⃗3≝(001)定义矩阵𝑅(𝑡)≝(𝑔⃗𝑡(𝑒⃗1),𝑔⃗𝑡(𝑒⃗2),𝑔⃗𝑡(𝑒⃗3))映射𝑔⃗𝑡保内积，𝑔⃗𝑡(𝑒⃗𝑖)⋅𝑔⃗𝑡(𝑒⃗𝑗)=𝑒⃗𝑖⋅𝑒⃗𝑗=𝛿𝑖𝑗写成矩阵形式就是𝑅̃(𝑡)𝑅(𝑡)=𝟏3×3𝑅(𝑡)是正交矩阵。再考虑到𝑔⃗𝑡(𝑒⃗𝑖)⋅𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)=𝑒⃗𝑖⋅𝑎⃗=𝑎𝑖,𝑖=1,2,3.三个等式合写成矩阵形式，(𝑔⃗𝑡(𝑒⃗1)T𝑔⃗𝑡(𝑒⃗2)T𝑔⃗𝑡(𝑒⃗3)T)𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)=(𝑎1𝑎2𝑎3)𝑅̃(𝑡)𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)=𝑎⃗可得𝑔⃗𝑡(𝑎⃗)=𝑅̃(𝑡)−1𝑎⃗=𝑅(𝑡)𝑎⃗现在相对位移可以写成𝑟⃗𝐶𝑃(𝑡)=𝑔⃗𝑡(𝑟⃗−𝑐⃗)=𝑅(𝑡)(𝑟⃗−𝑐⃗)上式中令𝑡=0得𝑅(0)(𝑟⃗−𝑐⃗)=𝑟⃗𝐶𝑃(0)=𝑟⃗−𝑐⃗𝑅(0)=𝟏总之，𝑟⃗𝑃(𝑡)=𝑅(𝑡)𝑟⃗𝐶𝑃(0)+𝑟⃗𝐶(𝑡)其中实正交矩阵𝑅(𝑡)是时间的连续函数，满足𝑅̃(𝑡)𝑅(𝑡)=𝟏,𝑅(0)=𝟏。上面的等式即刚体3转动的夏莱（Chasles）定理。夏莱定理：刚体最一般位移可以分解为绕基点的转动和随基点的平移。2．角位移参数三维欧氏空间矢量内积保内积不变的线性变换三维实正交群O(3)≝{𝐴|𝐴̃𝐴=𝟏3×3,𝐴𝑖𝑗∈𝐑}三维实特殊正交群SO(3)≝{𝐴∈O(3)|det𝐴=1}，O(3)≡SO(3)⊗{1,−1}自由度为3。绕坐标轴的转动由几何关系，绕坐标轴的逆时针转动（或者说坐标轴顺时针转动）为cossin0sincos0001)(xR，cos0sin010sin0cos)(yR，1000cossin0sincos)(zR,求矩阵的对数，看成是2维转动利用前面的公式，cossinsincosK，1detK，KK；cos2/trK，is)(coscosh1，sinsinhs，0110sin/cos1KK；)2(01102cossinsincoslnnimi1。于是可以令4jklkljX，XiJ（厄米），0101000001X，0010001002X,0000010103X，}exp{)(1XRx，}exp{)(2XRy，}exp{)(3XRz。转动矩阵的指数形式设}exp{TR，那么*RR，RTln*TT，即必然可以约定T为实矩阵。1detRZlliT,2tr，TliT132，0trT，约定0l，从而0trT，T无迹。)3(}exp{SOTR，引进R},exp{TR，RTR}exp{**，1}trexp{detTR。又R是幺正矩阵，可以用幺正相似变换对角化，1},,1{diagQeeQRii，其中Q是幺正矩阵；R的本征值模1，又由于R是实矩阵，其本征值有一对互相复共轭，另一个为1。现在1},,1{diagQeeQRii，1RR，1~RR。总之)3(SOR。将上式展开为展开为的Taylor级数，比较系数得TT~。无迹、反对称的实33矩阵可以用321,,XXX展开，XT，5其中T),,(321，Rj。转动矩阵的显式}exp{)(XR。记000121323nnnnnnXnXn，1112332313222213121212nnnnnnnnnnnnnnnXn。三维矩阵的恒等式01MMMMMMMdettrtr21tr2223，0trnX，2tr2nX，0detnX，给出nnXX3，于是,sin)cos1(!51!31!41!21}exp{2532422nnnnnnnXXXXXXXX11.cos)cos1(sin)cos1(sin)cos1(sin)cos1(cos)cos1(sin)cos1(sin)cos1(sin)cos1(cos)cos1(}exp{}exp{231322311322232123132121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnJiXR参数是角位移考虑任意一个实矢量的转动，kk//kkk)(1ne3e2e6),cos1)((sin)(}sin)cos1({)(!21}exp{2knnknkkXXkkkkXnn1当//k时，0k，kkX}exp{，所以||/n是转动轴。当k与不平行时，如图，记1en，2ekkn，3)(ekknn，其中cos||//kk，sin||kk。三个标准基321,,eee构成右手系，,)()()(31//332211ekekeekeekeekk,cossin)cos1)((sin)(}exp{321//ekekekknnknkkXk可见确实是矢量k绕n轴逆时针旋转角。参数范围],0[：考虑到1}2exp{n，绕n转，等价于绕（n）转2，)2)((~))((nnn，知参数空间应该是半径为的球体，并且对跖点等价。原点对应单位元。73．Euler角参数另一种参数化方式是用Euler角。),,(bRR在随体坐标系中定义（1）绕z-轴转角，'''zyOxOxyz（2）绕'y-轴转角，'''zyOxzyOx（力学中取绕x-轴旋转）（3）绕z-轴转角。)()()(),,('zyzRRRR参数范围)2,0[],,0[),2,0[其实不是好的定义(notwell-defined)，因为,0时，一个转动可以有无穷多种描述，群参数和群元之间不是一一对应。可在实验室坐标系中表示)()()()()()(),,('zyzzyzRRRRRRR证明：全反称张量是迷向张量满足jkllkjkklljjRRR，jkljmjklmjlkmkkllRRRR1，所以,}){()(1jkijkinnkmnlmnjljkXRRRRRXR)()(1nRnRRRR，于是Euler转动就是8).()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(11'''1''''zyzzzzzzyzzzyzyyzyzyzRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR转动矩阵的显式1000cossin0sincos)(zR，cos0sin010sin0cos)(yR，1000cossin0sincos)(zR，cossinsincossinsinsincoscossincossinsincoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscoscos),,(R其中参数范围为)2,0[],,0[),2,0[。4．乘法公式)()()(321RRR，}exp{}exp{}exp{321XXX，利用Baker-Hausdorff公式可以求出3，9).,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(222111332221113322211133zyxzyxyyzyxzyxyyzyxzyxxx但是这里的无穷级数求和不容易简化。另一个办法是利用sin)cos1(}exp{2nnXXX1，222112332sin)cos1(sin)cos1(sin)cos1(221133nnnnnnXXXXXX111两边取迹，利用,cos21)cos1(23sin)cos1(tr3333233nnXX1212)(tr21nnXXnn，……求出3；再利用3332332