有限元第7章等参数单元

第七章等参数单元三节点三角形单元具有如下特点：1.位移插值函数为线性函数，因此称为三角形线性元。2.线性单元的位移在单元内呈线性变化，应力、应变在单元内是一个常量。3.应力和应变在求解区域内都不是连续的。为提高计算精度，实际分析时可以采取的方法：1.单元分细；2.构造高精度新单元。将单元分细可提高计算精度，因为有限元法的计算基础就是当单元无限分细时计算结果将收敛于精确解。但是单元分细会增加单元数目和节点数目，从而增加所要求解的方程组，占用和耗费大量的计算机资源。所以，用细分单元的方法来提高精度有时是不经济的。构造具有较高精度的单元也可以提高计算精度。单元节点数增多，则自由度数目增多，允许采用较高阶次的位移插值函数，从而提高计算精度。例如6节点三角形单元其位移插值函数为完全二次多项式。22123456dxyxxyy单元内位移为二次函数变化，应变和应力呈线性变化。但这种单元的面积小，节点多，也会使方程数目激增，占用计算机资源多。目前较少使用。双线性插值函数的矩形单元，由于位移插值函数比三角形线性单元的位移插值函数多了一项，单元内的应力和应变不再是常量，精度也会高些。但是，一般矩形单元只适用矩形规则区域的求解，对于任意形状的非规则区域，单元分割时不方便，在边界上的计算精度要降低。因此，在实际中也很少使用。如果把矩形单元改成任意四变形单元，用于求解不规则区域时单元分割就要方便得多，而且至少有4个节点8个自由度，其位移插值函数的阶次也比线性三角形单元高。因此，任意四边形单元是比较理想的单元形式。但是，如果仍采用双线性的位移插值函数，任意四边形单元不能满足相邻单元间的位移协调，即相容性条件。31x24y1234dxyxy,(0)ykxbk2dAxBxC第二节四节点四边形等参数单元我们知道，矩形单元是满足解的收敛性条件的。如果通过一个坐标变换将任意四边形单元变换成矩形单元，只要坐标变换中任意四边形单元与矩形单元之间的点是一一对应的(坐标变换的相容性)，而变换后的位移插值函数又是满足解的收敛性条件的，这两条合在一起就能保证任意四边形在原坐标系中满足收敛性条件。132(1,1)(1,1)4(1,1)(1,1)(,)pyx1111(,)pxy1234注意到这一坐标变换不是针对整个求解区域，而是针对每一个单元分别进行的。132(1,1)(1,1)4(1,1)(1,1)(,)pyx1111(,)pxy1234xOy平面为整体坐标系，它适用于所有单元，O坐标为局部坐标系，它只适用于每个要变换的单元。在每个单元上考察整体坐标(,)xy到局部坐标(,)之间是否满足上述要求的变换(相容性)。首先看一下局部坐标系下的位移插值函数、形状函数和收敛性条件，再讨论具体的坐标变化。1234u5678v111(,)(1)(1)4NN221(,)(1)(1)4NN331(,)(1)(1)4NN441(,)(1)(1)4NN1(,)(1)(1)4iiiN11(,)(1,1)22(,)(1,1)33(,)(1,1)44(,)(1,1)这样可得到局部坐标系下正方形单元的位移插值函数(7-1)可以表示为41(,)iiiuNu41(,)iiivNv从矩形单元位移插值函数的讨论中可以知道，局部坐标系下的正方形单元必然满足解的收敛性条件。下面就要看如何实现坐标变换来满足变换相容性的要求。采用位移插值函数相同形式的坐标变换式，能满足坐标变换相容性的要求，即41(,)iiixNx41(,)iiiyNy(,),1,2,3,4iNi是与形状函数完全一样的双线性函数在正方形每一条边上，(,)iN是一个坐标变量的线性函数，而线性变换是点点对应的，那么四边形四条边上的变换是点点对应的。132(1,1)(1,1)4(1,1)(1,1)(,)pyx1111(,)pxy1234位移插值函数公式和坐标变换公式具有完全相同的形式，它们用同样数目的对应节点值作为参数，并且具有完全相同的形状函数作为这些节点值前面的系数，我们称具有这种特点的单元为等参数单元。若由节点坐标插值构造单元几何形状所用的形函数比由节点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所用节点参数个数少，则称为亚参元；反之，若阶次高，节点个数多，则称为超参元。亚参元和超参元虽然也有应用，但是不如等参数元应用普遍。子单元的位移场和母单元的位移场是一样的，但是子单元的位移是以斜坐标表达的。而母单元的位移场是以正则坐标表示的。因此，子单元和母单元的位移分布在节点坐标相同时也不同。根据上述理论，可总结出参数元的基本思想：首先建立规整形状单元(母单元)的形函数，然后利用它做两件事1.根据坐标影射用母单元形函数和实际单元的节点坐标确定所划分单元的几何形状，这个实际划分单元称为子单元。2.利用母单元形函数和单元节点位移建立子单元的位移场。母单元的正交坐标轴(,)影射到子单元上，得到一个斜角坐标轴，仍记为(,)现在子单元有两种坐标，一个是整体坐标(,)xy令一个是固定于单元的局部坐标(,)当母单元函数确定后，再由各种具体问题实际单元划分所确定的子单元节点坐标，由坐标变换，可影射得到所有实际单元。因此，关键是建立母单元的形状函数。第三节等参数单元平面问题的有限元格式前三步的主要目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数，或求出单元形状函数，第四到六步主要目的是求出单元刚度矩阵.对于等参数单元，我们已经得到了四节点四边形等参数单元的形状函数，下面讨论单元刚度矩阵的形成。一、等参数单元刚度矩阵第四步单元应变-单元位移-节点位移之间的关系41414411(,){(,)}(,)(,)(,)iiixyiiixyiiiiiiuNuxxvxyNvyyuvNuNvyxyx31241234312412343312412412341234NNNNuuuuxxxxNNNNvvvvyyyyNNNNNNNNuuuuvvvvyyyyxxxx11312422312433331122444400000000uvNNNNuxxxxvNNNNuyyyyvNNNNNNNNyxyxyxyxuv12123434{}{}[][]{}{}{}eeeeeddBBBBBddd第五步单元应力-应变-节点位移之间的关系{(,)}[]{(,)}[][]{}exyDxyDBd第六步单元力-节点位移之间的关系由虚位移原理，利用以前所推导的方法，可得到节点力与节点位移之间的关系式{}[][][]{}eTeFBDBdVd{}[[][][]{}[]{}eTeeeFBDBtdxdydKd[][][][]eTKBDBtdxdy[]B矩阵由式(7-5)给出，积分区域为任意四边形单元内区域。11312422312433331122444400000000uvNNNNuxxxxvNNNNuyyyyvNNNNNNNNyxyxyxyxuv12123434{}{}[][]{}{}{}eeeeeddBBBBBddd二、等参数坐标变换4141(,)(,)iiiiiixNxyNy根据复合函数求导法则，有xyxyxyxy(,)[](,)xyxyJxy为写成矩阵形式，记变换矩阵(雅可比矩阵)为[]xyxxJxyyx11[]||yyxJxxJy1[]J为雅可比矩阵的逆阵。||J为雅可比矩阵的行列式||xyxyxyJxy444111(,)(,)(,)1||iiiiiiiiiNuNuNuyyxJ41(,)iiiNyy41(,)iiiNyy此外，整体坐标系与局部坐标的面积微分之间有关系式||dxdyJdd五、面积微元的坐标变换ddJddjdyixjdyixdddxdy]det[)()(obdadyx0baddjyixrdadb从而计算单元刚度矩阵表达式的积分，可以从整体坐标系任意四边形区域的积分转换到局部坐标系正方形区域的积分：1111[][][][]||eTKBDBtJdd这样积分区域就变简单了，所有计算都转换到局部坐标系下的正方形单元进行。但是由于坐标变换，使被积函数具有非常复杂的形式。一般来讲，这一积分无法解析进行，需要采用数值积分来求解。31243124331122440000[]0000NNNNxxxxNNNNByyyyNNNNNNNNyxyxyxyx三、能进行等参数变换的条件4141(,)(,)iiiiiixNxyNy只要给定整体坐标系内四个节点的坐标(,)iixy1,2,3,4i就可以写出坐标变换式。为保证此变换式在单元上能确定整体坐标与局部坐标间的一一对应关系，使等参数变换能真正进行，必须使变换行列式(雅可比行列式)在整个单元上均不等于零。因为微分变换式||dxdyJdd||J不能为零。||0J是雅可比矩阵的逆矩阵存在的必要条件；44114411(,)(,)[](,)(,)iiiiiiiiiiiiNNxyxyJxyNNxy44114411(1)(1)44(1)(1)44iiiiiiiiiiiiiiiixyxy4411441144444444iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyy1(,)(1)(1)4iiiN4114iiiiAx4411441144444444iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyy