2.5-二维随机变量及其联合分布函数

E-mail:[e-mail]二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量两个常用的二维连续型分布小结§5二维随机变量及其联合分布函数E-mail:[e-mail]一、二维随机变量及其分布函数定义1设在试验E的样本空间Ω={w}上定义了两个随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量.E-mail:[e-mail]实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).说明E-mail:[e-mail]因此,不能试图通过单独研究随机变量X,Y而来了解二维随机变量(X,Y),必须将(X,Y)作为一个整体来研究.类似于一维随机变量,我们也可利用“分布函数”来研究二维随机变量(X,Y),并且分别就离散型与连续型来加以分析.注意E-mail:[e-mail]定义2设(X,Y)为二维随机变量,称二元函数分布函数在点处的函数值就是事件“随机点(X,Y)落在以点为右上顶点的角形区域”的概率.),(yxF),(yx),(yx定义域为全平面(,){()()}{,}FxyPXxYyPXxYy2((,))xyR为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的分布函数或联合分布函数。E-mail:[e-mail]分布函数具有下列基本性质:（1）0(,)1(,)Fxyxy且对于任意固定的y，(,)lim(,)0,xFyFxy对于任意固定的x，(,)lim(,)0,yFxFxy(,)lim(,)0,xyFFxy(,)lim(,)1.xyFFxy即(,)(,)(,)0,(,)1FyFxFFE-mail:[e-mail]（2）(,)Fxy是关于x或y是单调不减的；即对固定的y，2121(,)(,),xxFxyFxy当时对固定的x，2121(,)(,).yyFxyFxy当时（3）(,)Fxy是关于x或y均是右连续，即(0,)(,),(,0)(,)FxyFxyFxyFxy（4）对于任意11221212(,),(,),,xyxyxxyy有22211112(,)(,)(,)(,)0.FxyFxyFxyFxy随机向量落在矩形区域的概率E-mail:[e-mail]事实上1212{,}PxXxyYy212{,}PXxyYy112{,}PXxyYy22{,}PXxYy21{,}PXxYy12{,}PXxYy11{,}PXxYy故22211112(,)(,)(,)(,)0.FxyFxyFxyFxyE-mail:[e-mail]二、二维离散型随机变量1、概念定义3如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有限个或可列无限个点,则称(X,Y)为二维离散型随机变量。2、二维离散型随机变量的分布律定义4设离散型二维随机变量(X,Y)的所有可能取值点为),3,2,1,)(,(jiyxji{,}(,1,2,).ijijPXxYypij称为离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布分布律（分布列）或随机变量X和Y的联合分布律。E-mail:[e-mail]分布律满足:.111ijijp分布律可用表格表示:XYixxx2112111ipppijjjppp2122212ipppjyyy21);,2,1,(0jipij[概率的非负性][概率的规范性]E-mail:[e-mail]已知离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布),3,2,1,(},{jipyYxXPijji则其分布函数为xxyyijijpyxF),(E-mail:[e-mail]例1设袋中有a+b个球，其中a个红球，b只白球.今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋中，并加入与所取求相同颜色的球c只，然后再从袋中任取一球，设10X第一次所取球为红球第一次所取球为白球10Y第一次所取球为红球第一次所取球为白球求二维随机变量(X,Y)的分布律.解：X的可能取值为0，1；Y的可能取值为0，1，利用乘法公式有：E-mail:[e-mail](1,1)(1)(1|1)aacPXYPXPYXababc(1,0)(1)(0|1)abPXYPXPYXababc(0,1)(0)(1|0)baPXYPXPYXababc(0,0)(0)(0|0)bbcPXYPXPYXababc用表格表示即为：0101bbcababcabababcbaababcaacababcE-mail:[e-mail]二维离散型随机变量的分布列形象化解释设想将一单位质量的物质分配在（X，Y）所有可能取值的点处，相应分配的量就是对应的概率值。这样一来，随机变量取值落在某个平面区域G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和。},{}),{(),(jGyxiyYxXPGYXPjiE-mail:[e-mail]三、二维连续型随机变量,),(),(yxdudvvufyxF1、概念定义5设二维随机变量(X,Y)的分布函数为),(yxF),(yxF如果存在非负函数),(yxf，使得对任意的X，Y均有则称(X,Y)为连续型二维随机变量，其中称为二维随机变量(X,Y)的概率密度或随机变量X和Y的联合概率密度。E-mail:[e-mail]2、概率密度及其性质设G为平面xoy上的一个区域,则随机点(X,Y)落在G内的概率为:.),(}),{(GdxdyyxfGYXP);),((0),(2Ryxyxf;1),(dxdyyxf[曲顶柱体体积][确定待定参数]E-mail:[e-mail].),(),(2yxyxFyxf若在点处连续,则有),(yxf),(yx[由分布函数求概率密度],),(),(yxdudvvufyxF[由概率密度求分布函数]E-mail:[e-mail]说明（1）几何上，(,)zfxy表示空间一个曲面.(,)dd1fxyxy（2）—表示介于p(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.（3）{(,)}(,)ddGPXYGfxyxy{(,)}PXYG的值等于以G为底，以曲面(,)zfxy为顶面的曲边柱体的体积.E-mail:[e-mail]例3设r.v.(X,Y)的概率密度为解:由概率密度性质得(2),0,0,(,)0,xyCexyfxy其它dxdyyxf),(1(1)因为,2|)1(|)21(002CeeCyxdyeeCyxdx002所以.2C（1）求C值；（2）分布函数(,);Fxy（3）求概率{}PYXE-mail:[e-mail]其它,0,0,0,2),()2(yxeyxfyx故(2)由概率密度求分布函数.解题思路画出联合概率密度的非零区域;点(x,y)在全平面范围内取值;综合上述两点得出就(x,y)的分段情形.E-mail:[e-mail]yxdudvvufyxF),(),(,,0,0,0,2002其它yxdveduexyvu,,0,0,0,||002其它yxeeyvxu,,0,0,0),1)(1(2其它yxeeyx本例中分布函数应分为两段来计算:就x0,y0与“其它”。利用重积分对积分区域的可加性,只保留非零积分E-mail:[e-mail](3)求概率P{Y≤X}.只需在概率密度f的非零区域与事件区域G={(x,y)|y≤x}的交集D上积分.由公式.),(}),{(GdxdyyxfGYXP得:.),(),(}{xyDdxdyyxfdxdyyxfXYPdxeedyedxexyxxyx002002|)1(22E-mail:[e-mail].31321|]32[)1(203202xxxxeedxee本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。□E-mail:[e-mail]解,dd),()(11yxyxp因为1dd)6(2042xyyxk所以;81k}.4{)4(};5.1{)3(};3,1{)2(;)1(.,0,42,20),6(),(),(YXPXPYXPkyxyxkyxpYX求求确定常数其它具有概率密度设二维随机变量练习题E-mail:[e-mail]}3,1{)2(YXP;83dd)6(811032xyyx}5.1{)3(XP;3227dd)6(815.1042xyyx}4{)4(YXP.32dd)6(814240yxyxy}4{YXPoxyyx4E-mail:[e-mail]1、均匀分布设D是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布.记为(X,Y)~U(G)1,(,),(,)0,.xyDfxyA其它四、两个常用的二维连续型分布E-mail:[e-mail]设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为2、二维正态分布21212221)()1(21exp121),(xyxf22222121)())((2yyx其中均为常数,称(X,Y)为服从参数为的二维正态分布,记为)11,0,(,,,,212121,,,,2121).,,,,(~),(2121NYXE-mail:[e-mail]二维正态分布的图形E-mail:[e-mail]1.二维随机变量的分布函数}.,{),(yYxXPyxF2.二维离散型随机变量的分布律及分布函数,},{ijjipyYxXP;,2,1,ji.),(yyxxijjipyxF3.二维连续型随机变量的概率函数(,)(,)dd.yxFxyfuvuv五、小结