浅谈集合及其应用2

山西师范大学本科毕业论文浅谈集合及其应用姓名邓荣院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级0803学号0851010319指导教师石瑞青答辩日期成绩浅谈集合及其应用内容摘要概念和符号是在解决集合相关问题时的基本要素，逻辑思维是进行推理集合问题时的常用思维.集合作为学习、掌握和使用数学语言的基础是中学数学学习的基础和出发点，要熟练掌握集合中的有关定义，并能运用集合的语言来描述数学问题，用集合的观点来解决相关数学问题.同时，在数学的整个学习过程中，集合又与其它数学分支紧密联系.因此,学好集合,不仅是记住一些概念、符号，更重要的是掌握一种思维方式，在今后学习数学的其它课程中能够熟练应用.首先，详细介绍集合的定义，基本符号；其次，简单描述集合间的基本运算关系；接下来，重点介绍在解决集合相关问题时易忽略的地方.最后列举几类集合在其它数学分支中的简单应用.【关键词】集合元素补集空集IntroductiontosetanditsapplicationAbstractConceptandsymbolsinsolvingproblemsrelatedtoissetwhenbasicelements,logicalthinkingisreasoningofcommonlyusedsetthinking.Insetasalearningandtheuseofmathematicallanguageisthefoundationofthemiddleschoolmathematicslearningthebaseandstartingpoint,tograspskilledsetinthedefinition,andusethesetoflanguagetodescribemathematicsproblems,withthesetofrelatedviewpointtosolvemathematicalproblems.Atthesametime,inthewholeprocessoflearningmathematics,setsandotherbranchesofmathematicsclosecontact.Therefore,learnitwellset,isnotonlyrememberaconcept,symbol,moreimportantistograspawayofthinking,inthefuturestudymathematicsinanothercourseskilledtoapply.Thispaperismainlythroughthefouraspectselaboratedsetaprofile.Firstofall,thepaperintroducesthedefinitionofcollection,basicsymbols.Second,asimpledescriptionoftherelationshipbetweencollectionsbasiccomputing.Thenext,emphasisonsolvingproblemsrelatedtosetinwhenthepointeasilyignored.Finally，enumerateseveralkindofsetinotherbranchesofmathematicsinasimpleapplication.【KeyWords】setelementscomplementarysetemptyset目录一、引言·····································································································(1)（一）集合和元素.....................................................................错误!未定义书签。（二）集合的表示方法及集合间的关系.................................错误!未定义书签。二、集合的运算·····························································错误!未定义书签。（一）集合的交集、并集和补集.............................................错误!未定义书签。（二）集合之间的交、并、补运算.........................................错误!未定义书签。三、集合中易忽略的几个问题·································错误!未定义书签。（一）忽略集合元素的属性.....................................................错误!未定义书签。（二）忽略集合元素的互异性.................................................错误!未定义书签。（三）忽略空集的特殊情形.................................................................................(4)（四）忽略集合中的隐含条件.................................................错误!未定义书签。（五）忽略求解补集时全集的范围.........................................错误!未定义书签。四、集合在中学数学中的应用·································错误!未定义书签。（一）集合在方程中的应用.....................................................错误!未定义书签。（二）集合在不等式中的应用.................................................错误!未定义书签。（三）集合在简易逻辑中的应用.............................................错误!未定义书签。五、结束语·······································································错误!未定义书签。参考文献································································································-10-致谢·········································································································-10--1-浅谈集合及其应用学生姓名：邓荣指导教师：石瑞青一、引言（一）集合和元素1.概念：谢邦杰教授在《抽象代数学》【1】第一章中这样写道：“一组确定的，人们在直觉或思维上的不同对象，作为一个整体来想象，就成为一个集合”.在高中课本中集合的定义是“将某些指定的对象集在一起将就成为一个集合，简称集.”他们中对于集合的共同点就是：将一些不同的确定的对象放在一起考虑.这其中体现了集合的两种性质，确定性和互异性.并且，将集合中的那些指定的不同的对象称之为元素.通常用大写字母A，B，C……来表示集合，用小写字母a,b,c……来表示集合中的元素.2.集合与元素的关系集合A与元素a存在两种关系即，属于和不属于，分别用Aa和Aa来表示.（二）集合的表示方法以及集合之间的关系1.集合的表示方法①列举法：将一个集合中的所有元素一一列举出来，写在花括号内.②描述法：把集合中的所有元素的共同特征归纳，用此来表示集合.③图像法：用一条封闭曲线的内部来表示一个集合.2.集合间的基本关系①子集：两个集合A、B，若对于集合A中的任何一个元素在集合B中都能找到，那么就说集合A是集合B的子集，用A⊆B来表示.②空集：一个不含任何元素的集合称之为空集，空集是一切集合的子集.③真子集：对于两个集合A、B，A是B的子集，若存在B中的一个元素x,Ax,但Bx，那么我们就说A是B的真子集.④相等：两个集合A、B，若对于集合A中的任何一个元素在集合B中都能找到，并且对于集合B中的任何一个元素在集合A中也都能找到，这时，我们就说两个集合A、B相等.根据一个集合中元素的多少将集合分为有限集与无限集还有空集.二、集合的运算-2-由两个或两个以上的集合的合与交为一个集合的运算.（一）集合的交集、并集和补集1.集合的交集：两个集合A,B的交集是指既含有集合A中的元素又含有集合B中的元素，并且不含其它元素的集合。集合A和B的交集写作“A∩B”，}{BxAxxBA且2.集合的并集：两个集合A,B的并集是指由所有属于集合A或集合B中的元素构成，并且不包含其他元素的集合。集合A和B的并集记作“A∪B”，}{BxAxxBA或3.集合的补集:UACuA设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于集合A的元素构成的集合成为集合A在集合U中的补集，记作ACU.如上图所示.补集也可以看作两个集合相减，因此有时称之为“差集”.4.用文氏图表示交集、并集、补集有关关系如果UBUA,，利用文氏图表示下面关系：)()()(BCACBACUUU)()()(BCACBACUUU（二）集合之间的交、并、补运算1．交集的运算性质：若两个集合A和B的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交.更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行.例如，集合A，B，C和D的交集为))((DCBADCBA。交集运算满足结合律，即:CBACBA)()(.AAAA,.,,BBAABAABBAABABA.2.并集的运算性质:两个以上集合的并集是一种结合运算，即CBACBA)()(.事实上，CBA也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略.相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意.空集与任意非空集合的并集仍为非空集合.即AA.-3-BBABAAAABBAABAABBA,,,,.3．补集的运算性质：UCAACCUUU,)(，UACAACAUU,，BCACBACBCACBACUUUUUU)(,)(.三、集合中易忽略的几个问题（一）忽略集合元素的属性例1集合},{2RxxyyC，集合},6{RxxyyD，求DC的值.错解由xyxy62解得42yx或93yx分析观察题目可知两个集合中的元素y均为各自函数的函数值，因此求DC就是求解函数2xy与函数xy6的公共值域，而不是求解两个函数的交点.正解)(02Rxxy,)(66Rxxy，因此}60{yyDC.反思解本题的关键所在就是弄清集合中代表元，错解中就是对代表元的概念不清楚从而导致答非所问，若将代表元由y改为（x,y）则错解中的所解得的x,y的值就是所求解的答案.因此，在求解集合问题时，一定要小心，细心，看清题，弄清楚集合间的相关概念.（二）忽略集合元素的互异性例2已知集合},,0{yxC,},),{lg(xxyxyD如果集合A=B，求实数x和y的值.错解因为)lg(xy有意义，所以0xy,从而0x，1xy.又因为C=D，得到xxxyy或xyxxy解得11yxyx或反思我们很明显，可以从上述解法中看出这种解法忽略了元素的互异性，一个集合中应该是任意两个元素互不相同的，当考虑特殊情况1yx时，集合}1,1,0{}.