确定中位数位置公式的初探(20120220)

确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探第1页共10页确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探如果资料已经分组，形成分组数列或组距数列，那么，确定中位数的位置，就是确定中位数所在的组，即确定中位数组。在确定了中位数组之后，才能依据分组数列推算中位数的值，或者依据组距数列，通过中位数计算公式，计算中位数。一、根据分组数列确定中位数组并推算中位数。根据分组数列，在确定中位数组时，可以采用公式Ew=∑f/2[公式1]和公式Ew=（∑f+1）/2[公式2]哪一个公式推算出来的中位数组是正确的？下面通过举例说明。【举例1—1】某工厂某车间工人某日生产某种零件的有关资料如下表1—1：表1—1某工厂某车间工人某日生产某种零件的分配数列序号日产量（件）工人人数（人）15826153739483359226108根据上述资料，确定中位数的位置，并且计算中位数。1、计算累计次数，计算结果见表1—2。2、推算中位数组并推算中位数。（1）根据公式1推算中位数组Ew=∑f/2=125/2=62.5（位）。中位数的位置在第62位工人和第63位工人的中间。按照向上累计，第62个工人在“日产量7件”组中，中位数组是“日产量7件”，而第63个工人在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”，中位数组有两个，那么，中位数是需要将两个中位数组的标志值进行简单平均后计算得到。即表1—2某工厂某车间工人某日生产某种零件累计次数计算表日产量（件）工人人数（人）向上累计向下累计xf∑f（↑）∑f（↓）58812561523117739621028339563922117301081258合计125——确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探第2页共10页Me=(7+8)/2=7.5（件）。按照向下累计，第62位工人和第63位工人都在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”。那么，中位数Me=8（件）。这时，采用向上累计和向下累计计算的中位数的结果是不一致的，因此，确定中位数位置的公式1是不正确的。（2）根据公式2推算中位数组Ew=（∑f+1）/2=（125+1）/2=63（位）中位数在第63位工人所在的的位置上。不论是向上累计还是向下累计，第63位工人都在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”，那么，中位数Me=8（件）。采用向上累计和向下累计计算的中位数的结果是一致的，因此，确定中位数位置的公式2是正确的。【举例1—2】某工厂某车间工人某日生产某种零件的有关资料如下表1—3所示。表1—3某工厂某车间工人某日生产某种零件的分配数列序号日产量（件）工人人数（人）15926153739483359226108根据上述资料，确定中位数的位置，并且计算中位数。1、计算累计次数，计算结果见表1—4。2、推算中位数组并推算中位数。（1）根据公式1推算中位数组，Ew=∑f/2=126/2=63（位）。中位数在第63位工人的位置上。按照向上累计，第63位工人在“日产量7件”组中，中位数组是“日产量7件”。那么，中位数是：表1—4某工厂某车间工人某日生产某种零件累计次数计算表日产量（件）工人人数（人）向上累计向下累计xf∑f（↑）∑f（↓）59912661524117739631028339663922118301081268合计126——确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探第3页共10页Me=7（件）。按照向下累计，第63位工人在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”。那么，中位数是：Me=8（件）。这时，采用向上累计和向下累计计算的中位数的结果是不一致的，因此，确定中位数位置的公式1是不正确的。（2）根据公式2推算中位数组，Ew=（∑f+1）/2=（126+1）/2=63.5（位）。中位数的位置在第63位工人和第64位工人的中间位置上。按照向上累计，第63位工人在“日产量7件”组中，中位数组是“日产量7件”，第64位工人在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”.那么，计算中位数是需要将两个中位数组的标志值进行简单平均后计算得到,即Me=（7+8）/2=7.5（件）。按照向下累计，第63位工人在“日产量8件”组中，中位数组是“日产量8件”，第64位工人在“日产量7件”组中,中位数组是“日产量7件”。那么，计算中位数是需要将两个中位数组的标志值进行简单平均后计算得到,即Me=（7+8）/2=7.5（件）。这时，采用向上累计或向下累计计算的中位数的结果是一致的，因此，确定中位数位置的公式2应该是正确的。通过以上两个举例，可以看出，根据分组资料确定中位数，采用公式2能够正确确定中位数组并能够正确的计算中位数。二、根据组距数列确定中位数组并推算中位数。根据组距数列，在确定中位数组时可以分别采用公式1和公式2，哪一个公式推算出来的中位数组是正确的？下面举例说明中位数组的确定和中位数的计算。【举例2—1】某县农户按照人均纯收入分组的资料见表2—1。表2—1某县农户按照人均纯收入分组的资料序号按照人均纯收入分组（元）农户数（户）11000以下4521000—20007932000—300013643000—400024054000—500032365000以上177根据上述的资料，确定中位数的位置并计算中位数。1、计算累计次数。编制某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表，见表2—2。表2—2某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探第4页共10页按照人均纯收入分组（元）农户数（户）向上累计（户）向下累计（户）xff（↓）f（↑）1000以下454510001000—2000791249552000—30001362608763000—40002405007404000—50003238235005000以上1771000177合计1000——2、推算中位数组。（1）通过公式2计算的中位数的位置Ew=（∑f+1）/2=（1000+1）/2=500.5（位）中位数的位置在第500位农户和第501位农户的中间位置上。如果采用向上累计，中位数组有两个，分别是第500位农户所在的“人均纯收入3000—4000”组和第501位农户所在的“人均纯收入4000—5000”组；如果采用向下累计，中位数也有两个，分别是在第500位农户所在的“人均纯收入4000—5000”组和第501位农户所在的“人均纯收入3000—4000”组。采用向上累计和向下累计计算的中位数组是一致的。可见，采用公式2计算并确定的中位数组是正确的。（2）通过公式1计算中位数的位置Ew=∑f/2=1000/2=500（位）中位数的位置在第500位农户的位置上。如果采用向上累计，第500位农户在“人均纯收入3000—4000”组中，中位数组是“人均纯收入3000—4000”；如果采用向下累计，第500位农户在“人均纯收入4000—5000”组中，中位数组是“人均纯收入4000—5000”组中。采用向上累计和向下累计计算的中位数组是不一致的。确定的中位数不是同一个组，而是归属于两个不同的组，这是不正常的。3、计算或推定中位数。（1）通过公式2确定了中位数组之后，就可以推定中位数了。在本例中，中位数组有两个，所以，使用现行教材中下限公式和上限公式计算中位数都不合适，那么，计算中位数时，只能采用推定的方法。在向上累计中，第500位农户在“人均纯收入3000—4000”组中的最后一位，第501位农户在“人均纯收入4000—5000”组中第一位，那么，中位数就是4000元。在向下累计中，第500位农户在“人均纯收入4000—5000”组中的第一位，第501位农户在“人均纯收入3000—4000”组中最后一位。那么，中位数就是4000元。（2）通过公式1确定了中位数组之后，就可以计算中位数了。通过向上累计确定中位数位置，那么，使用下限公式Me=L+[（∑f/2-Sm-1）×i]/fm[公式3]计算中位数，中位数Me=3000+[（1000/2-260）×1000]/240=4000（元）。通过向下累计确定中位数位置，那么，使用上限公式Me=U-[（∑f/2-Sm+1）×i]/fm[公式4]计算中位数，中位数确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探第5页共10页Me=5000-[（1000/2-177）×1000]/323=4000（元）。两种确定中位数位置的公式，有一个不正确的，但是，不论是通过哪一个公式确定中位数的位置，得到的中位数的结果却都是一样的，这可能是一种巧合，下面再举例说明。【举例2—2】某县农户按照人均纯收入分组的资料见表2—1。表2—1某县农户按照人均纯收入分组的资料序号按照人均纯收入分组（元）农户数（户）11000以下4621000—20007932000—300013643000—400024054000—500032365000以上177根据上述的资料，确定中位数的位置并计算中位数。1、计算累计次数。编制某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表，见表2—2。表2—2某县农户按照人均纯收入分组的累计次数计算表按照人均纯收入分组（元）农户数（户）向上累计（户）向下累计（户）xff（↓）f（↑）1000以下464610011000—2000791259552000—30001362618763000—40002405017404000—50003238245005000以上1771001177合计1001——2、推算中位数组。（1）通过公式2计算的中位数的位置Ew=（∑f+1）/2=（1001+1）/2=501（位）中位数的位置在第501位农户的位置上。不论采用向上累计还是向下累计，中位数组都在第501位农户所在的“人均纯收入3000—4000”组中，采用向上累计和向下累计计算的中位数组是一致的。可见，采用公式2计算并确定的中位数组是正确的。（2）通过公式1计算中位数的位置Ew=∑f/2=1001/2=500.5（位）中位数的位置在第500位农户和第501户农户的中间的位置上。如果采用向上累计，第500位农户和第501位农户都在“人均纯收入3000—4000”组中，所以，中位数组是“人均纯收入3000—4000”；如果采用向下累计，第500位农户在“人均纯收入4000—5000”组中，中位数组是“人均纯收入4000—5000”组中，第501位农户在“人均纯收入3000—4000”组中，中位数组是“人均纯收入3000—4000”组。采用向上累计和向下累计计算的中位数组是不一致的。而采用向下累计确定的中位数也不是同在同一个组，而是归属于两个不同的组，这是不正常的，也是不正确的。确定中位数位置的公式和中位数计算公式的初探第6页共10页3、计算或推定中位数。（1）通过公式2确定了中位数组之后，就可以推定中位数了。公式3和公式4中确定中位数的位置计算还是使用公式1，如果采用公式2的计算，需要将公式1式调整为公式2式即得到公式5和公式6。通过向上累计确定中位数位置，那么，使用下限公式Me=L+[（∑f+1/2）-Sm-1]×i÷fm[公式5]通过向下累计确定中位数位置，那么，使用上限公式Me=U-[（∑f+1/2）-Sm+1]×i÷fm[公式6]该例子中，使用下限公式5计算中位数，结果如下：Me=3000+[（1001+1/2）-261]×1000/240=4000（元）。使用上限公式6计算中位数，结果如下：Me=4000-[（1001+1）/2-177]×1000/240≈4000-4.1667=3995.9333（元）。因为计算得到的中位数是不一样的，所以，使用公式2是不正确的。但是，上限公式4和下限公式3计算得到的中位数是一样的，下面是运算过程。使用下限公式3计算中位数，中位数Me=3000+[（1001/2-261）×1000]/240=≈3000+997.9167=3997.9167（元）。使用上限公式4计算中位数，中位数Me=4000-[（1001/2-500）×1000]/240≈4000-2.0833=3997.9167（元）。通过上面的例子