量子力学-表象理论

量子力学——表象理论——根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述，力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数),(txψ及力学量算符),(xixF∂∂−∧h均以坐标x（以一维为例，实际是坐标这个力学量算符的本征值谱）为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量）⇒回答是：不仅有，且非常必要！⇒因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。量子力学中状态和力学量的具体表示方式——表象常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。一个定义：表象的定义；二个表示：态在任意表象中的表示，算符在任意表象中的表示；三个公式：平均值公式，本征值方程，薛定谔方程在任意表象中的表示。幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质。表象理论中采用的数学工具主要是矩阵⇒矩阵力学（Heisenberg海森堡）〖前称波动力学〗dingeroSchr&&1态在任意表象中的表示1.1Q表象的形成首先考虑，在坐标表象中力学量算符的本征函数构成正交归一完备系{，其譜本征值；体系状态用归一化波函数∧Q})(xun{}nQ),(txψ描述，将其展开为力学量的本征函数的叠加Q∑=nnnxutatx)()(),(ψ（1）而∫=dttxxutann),()()(*ψ（2）并且∑∫==nntadttx1)(),(22ψ（3）说明：（1）2),(txψ表示（给出）量子态在t时刻测量粒子坐标为x的概率2)(tan表示（给出）在该量子态中测量粒子的力学量所得结果为的概率QnQ二者从不同角度对同一量子态给予描述物理意义是等价的{})(),(tatxn⇔ψ数学角度也是等价的（2）一般不再是坐标)(tanx的函数[]除外)()(xxxun′−=δ，而是力学量的本征值的函数，即的函数，随的不同取不同复数值QnQnn1.2Q表象中态函数的表示（态的表象）Q{是从力学量的角度描述量子态的波函数})(tanQ⇒{})(tan为量子态在表象中的表Q1示以ψ表示这一量子态，则该态在表象中的表示可写成一列矩阵形式Q⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)()()(21tatatanMψ（4）共厄矩阵为())()()(**2*1tatatanL=+ψ（5）体系的归一化条件∑∫==nntadxtx1)(),(22ψ写为矩阵形式为1=+ψψ（6）1.3讨论（1）Q表象中状态的描述{依赖于坐标表象中力学量Q的本征函数系{}，每一个必定给出})(tan)(xun)(xunψ在Q表象中的一个对应数，可见)(tan几何空间坐标轴⇔{})(xun⇔Q表象的基矢几何空间中的矢量⇔ψ⇔态矢态矢ψ在Q表象基矢上的分量{})(tan构成了ψ在表象中的表示，由于Q{})(tan构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的希尔伯特空间（态空间）⇒（2）对于连续谱，是连续的，写成函数形式矩阵行列不可数∫=dxtxuaqq),(*ψ（3）力学量算符的本征函数在表象中（自身表象）∧Q)(xunQ∫==nmmnndtxuxutaδ)()()(*δ符号即的本征值为分离谱时，其基矢在自身表象中的矩阵表示为∧Q)(xunKK（7）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=M0011u⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=M0102u⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=MM010nu态矢的矩阵形式仍为212211auaua=++=Lψ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛M001++…=2a⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛M010⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛MMnaaa21注意：当的本征值为连续谱时，其基矢在自身表象中为∧Q)(xunδ函数（4）所谓Q表象的基矢，应该是一组力学量完全集决定的本征态，例如在三者的共同表象中，基矢为∧∧∧zLLH,,2nlmnlmuψ=，即共同本征函数系为{}nlmψ1.4特例（1）动量表象.以力学量完全集的共同本征函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∧∧∧zyxppp,,rpipezyxuvvhvh⋅=2/3)2(1),,(π作为基矢，则任意态pdzyxutpatzyxppvvvv),,(),(),,,(∫=ψ故∫=τψdzyxzyxutapp),,(),,()(为连续谱，若具体给出状态为平面单色波tEiptErpiezyxuetzyx000),,()2(1),,,()(2/3hvvvhh−−⋅==πψ这是动量算符的本征值为的本征态（在坐标表象中的表示），它在动量表象的表示为0p∫−==−−)(),,(),,()(0*000ppedezyxuzyxutatEitEipppvvhhδτ（8）即自身表象中是以动量pv为变量的δ函数（x表象中同样存在以坐标为变量的x′δ函数，它是坐标算符的属于本征值∧xx′的本征函数）（2）能量表象（中心力场能量为例）力学量完全集的共同本征函数∧∧∧zLLH,,2),,(ϕθψrnlm作为能量表象的基底，对任意态),,,(trϕθψ总有∑=nlmnlmnlmrtatr),,()(),,,(ϕθψϕθψτϕθψϕθψdtrrtanlmnlm),,,(),,()(*∫=若具体给出tEitEieYReYRtr2110112100102121),,,(hh−−+=ϕθψ3tEitEiee21102111002121hh−−+=ψψ则τϕθψϕθψdtrrtanlmnlm),,,(),,()(*∫=11200121102121mlntEimlntEieeδδδδδδhh−−+=从而在表象中态函数∧∧∧zLLH,,2⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−−=MMhh02100212110121211210200100tEitEieeaaaaaψ（9）2力学量算符在任意表象中的表示力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应，以保证对波函数的作用有意义2.1任意力学量算符),(xixF∂∂−∧h在Q表象中的表示x表象中，∧F的算符方程为（以一维为例）),(),(),(txxixFtxψ∂∂−=Φ∧h（10）选择Q表象时，首先注意到以力学量算符的本征函数完全集∧Q{})(xun作为基矢，并假设具有分离谱{，然后将Q}nQ),(txψ，),(txΦ按{})(xun展开⎪⎩⎪⎨⎧=Φ=∑∑mmmmmmxutbtxxutatx)()(),()()(),(ψ（11）代入（10）中后两边以作用，并利用∫dxun*{})(xun的正交归一性得∑=mmnmntaFtb)()(（12）式中dxxuxixFxuFmnnm)(),()(*∂∂−=∫∧h（13）L,3,2,1,=mn（13）式即为力学量算符),(xixF∂∂−∧h在表象中的矩阵元，Q{}nmF是∧F在表象中的表示Q它所构成的算符矩阵为4（14）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=LLLLLLLLLLLLLLLLnmnnmmFFFFFFFFFF2122221112112.2讨论（1）力学量算符),(xixF∂∂−∧h在Q表象中的矩阵元依赖于Q表象基矢nmF)(),(*xuxumn（2）厄米算符∧F在Q表象中的矩阵，其对角矩阵元互为共轭复数F（15）mnnmFF=*当时，对角矩阵元（16）nm=mmmmFF=*即对角矩阵元为实数（3）由共轭矩阵（转置取复共轭）的定义知mnnmmnmnFFFF===+**~（17）这样的矩阵称为厄米矩阵（4）算符∧F在自身表象中的矩阵为对角矩阵，即当时，有∧∧=QF（18）nmmmnnmQdxxuQxuQδ==∫∧)()(*这些实数的对角矩阵元即为算符的本征值∧Q{}mQ（5）对于连续谱，矩阵元写成为连续变量下标，行和列是不可数的dxxuxixFxuFqqqq)(),()(*′′∧′′′′∂∂−=∫h（19）3表象特例3.1动量表象以动量算符的本征函数rpipezyxuvvhvh⋅=2/3)2(1),,(π作为基矢，则算符),(xixF∂∂−∧h在动量表象的矩阵元为rdruxixFruFppppvvhv)(),()(*′′∧′′′′∂∂−=∫（20）（1）动量算符xp∧)()()()()()(**ppprdruruprdruprupxppxpxpppx′′−′′=′==∫∫′′′′′∧′′′′∧δvvvvvv动量算符在自身表象中即为动量（或）xpp（2）坐标算符∧x5∫∫∫′′−′′∂∂=′∂∂===⋅′−′′′′′′′∧′′′′∧)()()2(1)()()()()()(3**pppirdepirdrxururdruxruxxrppixppppppvvhvhhvvvvvvvvvhδπ坐标算符在动量表象中为zyxpizpiypix∂∂=∂∂=∂∂=∧∧∧hhh,,动量表象中算符的本征函数为∧x∫′=xdxxupapx)()()(*ψ，又坐标表象中的本征函数为∧x)()(xxx′−=δψ，所以pxipxexdxxxupahh−=′′−=∫2/3*)2(1)()()(πδ（3）角动量算符yzxpzpyL∧∧∧−=rdruLruLpxpppxvvv)()()(*′′∧′′′′∧∫=rdepzpyerpiyzrpivhvvhvvh∫⋅′′⋅′−′′−′′=)()2(13π⎥⎦⎤⎢⎣⎡′′∂∂′′−′′∂∂′′−=∫⋅′−′′rdeppppirppizyyzvhhvvvh)(3)2(1)(π)()(ppppppizyyz′−′′′′∂∂′′−′′∂∂′′−=vvhδ若将zypizpiy∂∂=∂∂=∧∧hh,代入，得动量表象中角动量算符∧∧∧−=ypzpLzyx（4）哈密顿算符)(22xUpH+=∧∧μ在动量表象中的表示)(22piUpH∂∂+=∧hμ3.2能量表象以∧H的本征函数为基矢，可能是一维无限深势阱axnaunπsin2=一维谐振子)(2221xHNeunxnαα−=中心力场),()(),,(ϕθϕθψlmnlnlmYrRr=算符在能量表象中的矩阵元6τdruxixFruFmnnm)(),()(*vhv∂∂−=∫∧（1）哈密顿算符∧HmnnnmmnEdruHruHδτ==∫∧)()(*vv⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nEEEHLLLLLLL00000021哈密顿算符∧H在自身表象中为对角矩阵，能量本征值一目了然（2）不显含时间算符微分矩阵元因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∧∧HFidtdF,1h，一般dtFddtFd∧=，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∧∧∧HFidtFd,1h成为算符的运动方程，微分算符矩阵元τdruHFFHruidtFdnmmn)())((*vvh∧∧∧∧∧−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∫∫−=−=∧mnnmnnmmFEEidruFEErui)()())((*hvvhτ即微分算符矩阵元转化为这个算符的矩阵元与相应的能级差之积，如mnFmnnmmnmnxxEEidtxdph)(−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∧∧μμ例题一求一维无限深势阱中粒子的坐标与动量在能量表象中的矩阵元解：基矢axnaunπsin2=能级22222anEnμπh=当时，对角元为nm=∫==amnadxaxnxax022sin2π当时，非对角元为nm≠∫=amndxaxnxaxmax0)(sin)(sin2ππdxxanmxanmxaa∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=0)(cos)(cos1ππaaxnmnmaaxnmnmaa0222222)(cos)()(cos)(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−−−=ππππ[][]2222222)(41)1()(1)(11)1(ππnmamnnmnmanmnm−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=−−7[]⎪⎩⎪⎨⎧−−−=−=−anmmnixEEipnmmnnmmn222)(21)1(0)(hhμnmnm≠=4量子力学公式的矩阵表述（以分立谱为例）实质是把x表象中的表达式变换到表象中，故以表象基矢为基础，以态矢及算符QQ)(xu∑=nnnxutatx)()(),(ψψ→（矩阵）（矩阵元）进行变换可得dxxuFxuFnmmn)()(*∫∧=x表象Q表象（矩阵）力学量平均值dxtxxixFtxF),(),(),(*ψψ∂∂−=∫∧h∑=mnnmnmaFaF*即ψψFF+=