社会科学中的数学

1第一节概论1.综合评价的问题:对客观事物或事件以不同侧面所得到的信息(或数据)作出总的评价。研究对象是自然、社会和经济等领域的同一类事物（横向）或同一事物在不同时期的表现（纵向）。一般表现为如下几类问题：(1)对所研究的问题进行分类，分类就可以进行比较，确定工作的重点。(2)分类后的序化(3)对某一事物的整体作出评价。如果已经有一些同类事物的评价结果，有训练的样本，2．综合评价方法的产生、发展和研究现状（1）指标：实物指标、价值指标、相对指标、绝对指标、单项指标和综合指标。（2）指标的矛盾性：甲的几项比乙好，乙的另外几项比甲好。——需要综合。（3）方法：模糊数学的发展__适用于主观或定性指标的评价多项指标综合中如何解决各相指标的信息重复的问题__多元回归、主成分分析、因子分析、判别分析和聚类分析。2由于评价对象的多样性及评价的作用，多目标决策方法的融入，如功效系数法和AHP方法等。投入和产出的分析……第二章常规综合评价方法1.实例(1)综合国力上世纪六十年代开始一些学者开始尝试综合国力评价的问题:序号i123456指标ix人口面积钢消费量能源消费量国民生产总值总军事实力权重iw6161/iiiiijiiwXxwy,(j=1,2……,n)n:参评国家的个数项指标个国第第i:jxij国综合国力总得分第项指标世界总计值第j:yi:Xii以后美国和日本的研究部门进行了改进，但基本思路依然是：评价的对象目标——构成要素的分解——指标的选择——指3标值的转换——权重的确定——多指标的综合——比较结果的排序。（2）地区综合效益的比较)wXxwXx(w1ypppj111jp1iii其中：项指标的基数值为第i:Xi指标ixi权单位指标的实际值甲地j=1乙地j=2丙地j=3产品销售率12%758560百元产值实现利税23元252813可比产品成本降低率31%32-1全员劳动生产率42千元/人9126万元产值能耗52吨452518转换后的指标指标基数指标值甲乙丙1x800.941.060.752x2511.120.523x50.60.4-0.24x100.91.20.65x50.440.81.110.628y0.988y0.816y321(3)改进的功效系数法4(s)i(h)i(s)iijijx-xx-xdp1ip1iiijijw/dwy或,p1ip1iiw1iwijj)d(y其中:项指标的功效分数个单位的第为第ijdij项指标的满意值第项指标的不允许值第ixixisi)h()(指标满意值不容许值功效分数甲j=1乙j=2丙j=31x100508088682x35158086563x508476524x1557688645x64054788673.565476848080y102232184.077888768680y102232264.678664525668y102232352.评价指标的选取（1）选取的原则目的性代表性可行性体现在影响了经济增长的五个因素，提高了五个方面的水平、最终体现在五个增长率上。根据上面的分析确定评价的指标体系，分为六大方面和第二级的24个指标：人员因素产业因素产品因素资本因素信息因素知识技能就业产业政策、传导、结构材料、工艺、性能投资扩张、资本构成、融资手段技术开发、产品销售、人才利用生产水平技术水平管理水平贸易水平就业水平人均GNP的增长劳动生产增长率投资利润增长率优质产品增长率出口创汇增长率外国直接投资6（2）指标的筛选方法条件广义方差极小产业结构调整的程度技术的进步水平经营管理水平资本的形成水平贸易结构的该善程度就业人员的水平主导产业形成的水平新兴产业发展水平基础产业加强程度外资产业带动作用技术创新与开发水平引进技术的传播水平引进技术的消化吸收水平引进技术的先进性、适用程度全体职工素质提高的程度新增就业人口的比例吸收原有就业人口的比例第二、三产业吸收就业人员增加的程度经济稳定迅速发展7X=npnnppxxxxxxxxx212222111211可以求出指标的均值n1in1xixpi,...,2,1方差：n12ii)(n1siixx协方差：njjiiijxxxxns1))((1我们可以构成如下的矩阵：)(Sijpps我们可以求出行列式：S指标第一样本第二样本8来反映这p个指标的变化状况，称为广义方差，当每个指标相互独立时广义方差S达到最大值。当广义方差为零时，各指标相互相关。当每个指标既不为零，又不为1时，广义方差的大小反映了指标内部联系的状况。我们将指标分解成两部分：)2()1(11121xxxxxxxpppppp2122211211ssssS的条件方差为：对后，的协方差，给定与分别表示)1()2()1()2()1(2211,,xxxxxss121112122)1()2()|(ssssxxS若已知)1(x后，)2(x的变化很小，那么)2(x部分的指标就可以删除。可以确定一个临界值C，若大于C则保留。极大不相关11p12p9如果它就是不可替代的是相互独立的，与其余的指标,......,,21pixxxx。相关系数反映了之间的线性相关的程度与jixx，现在要考虑的是ix与余下的1p个变量之间线性相关的程度，称为复相关系数pxixixxxix,...,1,1,......,2,1|计算如下：1RR-Tiiirr置换后pirRriiTii,...,2,1,12求得各值后，最大的一个表示关系最大，可以删除，也可以设定一个临界值，大于这个临界值的就删除。选取典型指标有时我们考虑的指标会很多，可在一类指标中进行聚类。假设反映事物同一侧面的指标为n个，分别为naaa,......,,21，第一步计算相关系数矩阵，nnnnrrrrr121111R10njijinin12,...,2,1),1(11比较大小：inik212max删除大的如：155001.055988.055001.0199859.055988.099859.01R77924.0)155988.099859.01(1315同样我们可得：55495.0,7743.0763．无量纲化方法（1）直线型阀值法，临界值法，有最大、最小等阀值也称临界值，是衡量事物发展变化的一些特殊的指标，如最大值、满意值等。用实际值与这个值比较，就可以得到指标的11评价值。序号公式影响评价值因素评价值范围特点1niiiixxy1maxniiixx1max,1,maxminiixx评价值随指标值的增大而增加，指标值不为零。2iiiiixxxxymaxminmaxiiiixxxxminmax,01,maxminiixx评价值随指标值的增大而减少3iiiiixxxxyminmaxmaxiiixxxminmax,1,0同上4iiiiixxxxyminmaxmin同上1,0评价值随指标值的增大而增大，最小为零，最大为15qkxxxxyiiiiiminmaxminqkxxxiii,,maxmin,qkq,最小为q,最大为k+q12MaxxiMinxiyxMaxxiMinxiyxy130MaxxiMinxixqk+q0MaxxiMinxiyx141516标准化法（百分法）标准化的公式为：sxxyii为均样本方查为指标的平均值sx其特点是：1．利用了样本的所有信息2．要求的样本的数据较多3．评价的结果超出1,0的范围，我们也可以将其转换为百分数的形式。1001060sxxyii考试的问题是否需要转换：比重法17（2）折线型以上方法的一个特点就是简单、易行；但存在的问题是指标值在不同的区间内的变化对评价事物的综合水平的影响是一样的。这显然不合理。折线型无量纲化方法更加适合于事物发展呈现阶段性的特点。0ΔyΔyΔxΔxyx181．凸折线型mimmiimimmimmiixxyxxxxyxxyxxy),1(max0,为转折点的值mx2．凹线型适合于后期的变化对事物总体发展影响较大的情况。0ΔyΔy’Δx’Δxyx193．三折线型适合于某些事物要求指标值在某区间内变化，若超出这个区间则指标值的变化对事物的总体水平没有什么影响。如人口太大、太小对一个国家的竞争力的影响。0ΔyΔy’Δx’Δxyx20多折型。正确评价的前提是对客观事物的全面的和深刻的理解。如果无法确定转折点及其评价值，我们可以用曲线型无量纲化的方法。（3）曲线型4．权重的确定用若干个指标pxxxx,,,,321进行综合评价时，其对评价目标的作用是各不相同的。权重确定的方法有徳尔菲法，相邻指标比较法和统计方法。01yx21德尔菲方法又可以称之为有控制的专家咨询法。工作方法如下：（1）将研究的问题分解为若干个子问题，问题的题意要十分明确，任何人对此的理解都是唯一的。1．确定专家人数，以（10~50人）为宜，要相互独立地进行问题的回答。2．回收意见后，对每个问题进行定量统计归纳，并列成下面的形式：序号问题下四分位数中位数上四分位数12343．将统计归纳后的结果反馈给专家，每个专家根据这个结果重新考虑自己的意见。对回答超出四分位区的专家，可要求他们说明理由，这个理由也可以返回其它的专家。4．意见收集好后再进行统计归类，形成下面的形式：123456789100.020.020.030.040.040.050.050.050.060.07位下41中位数位上41德尔菲方法很好地协调了大多数人的意见，但也存在一个现象是——真理往往站在少数人的一边。22相邻指标比较法咨询时发给专家一张表：指标（1）参考指标（2）相对重要性ig21权i'归一化权i1x1x11g112x1x22.1g1.223x2x35.1g34x3x45x4x55.2g5合计'i1ijkiikigggg221',,3,2,,然后进行归一化处理:23kjjiiki1'',2,1,/统计方法利用收集到的指标,数据本身提供的信息是否有用。常用的方法有：方差的倒数，变异系数、复相关系数的倒数为权这几种方法。如果权重为方差的倒数，也就是：kjjiiki122,2,1,/时，kiiiy1相应的方差达到最小。复相关系数表示被选的一个指标ix可被其余指标代替的程度，如果复相关系数为1,表示这个变量可完全被替代，若很小则反映它的不可替代性，其倒数也就体现了其重要性。kxxxix,,2,1|5．常见的综合方法（1）加权算术平均（2）加权几何平均如美国社会卫生组织，评价经济发展的基本需要时用：婴儿死亡率人口出生率增长率人均平均期望寿命识字率就业率指标标GNPASHA70几何平均的意义在于只有各种性质均衡增长时，几何平均的值才会最大，而算术平均对极端值的影响非常敏感。24第三章层次分析法第一节层次分析模型及其构造层次分析模型是一个呈递阶层次树状结构，包括有目标层、准则层和方案层准则层指标层综合评价用地布局分期建设道路交通公共设施环境质量25方案层第二节判别矩阵及其标度当形成层次分析的模型以后，将每一层次内各因子对上一层次中的某一因素有关的若干因素，按照影响的大小，逐对两两对比，形成比较判断矩阵。如代价P，与投资C1，设备闲置C2和社会代价C3有关。PC1C2C3C1159C21/515C31/91/51P12=5，表明相对于C2来说，C1更重要。标度值的确定如下：标度含义1同等重要3稍微重要5明显重要7强烈重要9极端重要2，4，6，8相邻判断的中间值工