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第1页共10页福建省2009年普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),共8页,全卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式:如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B).如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=knkkn)p(pC1.球的表面积公式S=4πR2,其中R表示球的半径.球的体积公式V=34πR3,其中R表示球的半径.第I卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内.1.已知集合A={x|-2,-1,0,1,2},B={2,3},则A∪B为()A.{2}B.{2,3}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}2.不等式032xx的解集是()A.(-3,2)B.(2,+∞)C.(-∞,-3)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(3,+∞)3.双曲线4x2-y2=1的渐近线方程是()A.4x±y=0B.x±4y=0C.x±2y=0D.2x±y=04.已知函数),x(),x(x)x(fx0203则f(f(-2))的值为()A.-1B.41C.2D.45.已知A、B为球面上的两点,O为球心,且AB=3,∠AOB=120°,则球的体积为()A.29πB.π34C.36πD.π3326.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是()A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3C.a≤-3或a≥-2D.-3≤a≤-27.已知条件p:k=3,条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知数列na的前n项和为Sn,且Sn是an与1的等差中项,则an等于()A.1B.-1C.(-1)nD.(-1)n-19.若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的是()A.若m∥α,mβ,α∩β=n,则m∥nB.若m∥α,nα,则m∥nC.若m∥α,n∥α,则m∥nD.若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α第2页共10页10.函数y=Asin(ωx+φ)图象的一部分如图所示,则此函数的解析式可以写成()A.y=sin(x+8π)B.y=sin(2x+8π)C.y=sin(2x+4π)D.y=sin(2x-4π)11.某小组有12名学生,其中男生8名,女生4名,从中随机抽取3名学生组成一兴趣小组,则这3名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为()A.3122418CCCB.3121428CCCC.3121428AAAD.3121428AAA12.若函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,则x)x(f)x(f<0的解集为()A.(-2,0)∪(0,2)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分。共16分.请把正确答案填在题目后面的横线上.13.二项式(21xx)6的展开式中,常数项为_____________.14.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上,则此椭圆的离心率为____.15.已知向量a=(1,1),b=(sinx,-cosx),x∈(0,π),若a∥b,则x的值是_______.16.阅读下面材料,并回答问题:设D和D1是两个平面区域,且D1D.在区域D内任取一点M,记“点M落在区域D1内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=的面积的面积DD1.已知区域E={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2},F={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2,x≥y},若向区域E内随机投掷一点,则该点落入区域F内的概率为________.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)(I)求f(8π3)的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.第3页共10页18.(本小题满分12分)在数列na中,a1=1,an+1=an+c(c为常数,n∈N*),且a1,a2,a5成公比不等于1的等比数列.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)设bn=11nnaa,求数列nb的前n项和Sn.19.(本小题满分12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AA1,和CC1的中点.(I)求证:EF∥平面ACD,;(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角;(Ⅲ)设点P在棱BB1上,且BP=36求二面角P-AC-B的大小.20.(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.(I)写出υ关于ω的函数关系式;(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石,求价值损失的百分率;(Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉,试用你所学的数学知识证明:当m=n时,价值损失的百分率最大.(注:价值损失的百分率=原有价值现有价值原有价值×100%;在切割过程中的重量损耗忽略不计)第4页共10页21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+bx2-x(x∈R,a、b是常数,a≠0),且当x=1和x=2时,函数f(x)取得极值.(I)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若曲线y=f(x)与g(x)=-3x-m(-2≤x≤0)有两个不同的交点,求实数m的取值范围.22.(本小题满分14分)已知定点A(a,O)(a0),直线l1:y=-a交y轴于点B,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.(I)求动点C的轨迹E的方程;(Ⅱ)设倾斜角为α的直线l2过点A,交轨迹E于两点P、Q,交直线l1于点R.(1)若tanα=1,且ΔPQB的面积为2,求a的值;(2)若α∈[6π,4π],求|PR|·|QR|的最小值.第5页共10页2009年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分.1.D2.C3.D4.C5.B6.A7.A8.D9.A10.C11.B12.A二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分16分.13.15;14.22;15.34;16.23三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤.17.本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式,三角函数的图象与-眭质等基础知识;考查理解能力和运算能力.满分12分.解:1cos21()sin222xfxx……………………………………………………(4分)2221(sin2cos2)222221sin(2)242xxx………………………………………(6分)3211(I)()sin8222f…………………………………………………(8分)(II)222242kxk令…………………………………………(10分)322244kxk即3()88kxkkZ时,f(x)单调递增.∴f(x)单调递增区间为[38k,38k]()kZ……………………(12分)18.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识;考查化归与转化的思想方法:考查推理与运算能力.满分12分.解:(Ⅰ)∵an+1=an+c,a1=1,c为常数,∴an=1+(n-1)c.………………………………………………………………(2分)∴a2=1+c,a5=1+4c.第6页共10页又a1,a2,a5成等比数列,∴(1+c)2=1+4c,解得c=0或c=2……………………………………………(4分)当c=0,an+1=an不合题意,舍去.∴c=2.………………………………………………………………………(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n-1,∴111111()(21)(21)22121nnnbaannnn,……………(10分)∴Sn=b1+b2+…+bn=111111[(1)()()]23352121nn=11(1)221n=21nn.……………………………………………………………(12分)19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识;考查空间想象能力,逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力.满分12分.解法一:如图,分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、Bl(2,2,2)、Dl(0,0,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1).…………………………………………(2分)(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是DB=(2,2,2).………………………(4分)又∵EF=(-1,2,-1),由EF·1DB=-2+4-2=0,∴EF⊥1DB,而EF平面ACD1,∴EF∥平面ACD1……………………(6分)(Ⅱ)∵AB=(0,2,0),cosEF,AB=463||||26EFABEFAB∴异面直线EF与AB所成的角为arccos36……………………(8分).(Ⅲ)∵BP=36,∴P(2,2,36).设n=(x,y,z)是平面PAC的一个法向量,则0,0.nACnAP第7页共10页∵AP=(0,2,36),AC=(-2,2,0),∴220,620,3xyyz取(1,1,6)n.易知1(0,0,2)BB是平面ACB的一个法向量,∴cosn,1BB=112632||||1162nBBnBB…………(10分)∴二面角P-AC-B的大小为30°.………………………………(12分)解法二:(Ⅰ)同解法一知(Ⅰ)同解法一知EF=(-1,2,-1),1AD=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),∴AC-1AD=EF,∴EF、AC、1AD共面.又∵EF平面ACD1,∴EF∥平面ACD1.……………………………(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一.解法三:(Ⅰ)取AD1的中点K,连结EK、KC,在△AA1D1中,EK∥AA1,且EK=12AA1,∵FC=12CC1,CC1∥AA1,∴FCEK,∴四边形EKCF为平行四边形,∴EF∥CK.又∵CK平面ACD1,EF平面ACD1,∴EF∥平面ACD1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK,又AB∥CD,∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角(或补角).连DK,∵CD⊥平面AD1,DK平面AD1,∴CD⊥DK,在Rt△CDK中,DC=2,DK=2,∴tan∠DCK=22,∴异面直线AB和EF所成的角为arctan22.…………………(8分)(Ⅲ)连结BD交AC于O,连OP,∵四边形ABCD为正方形,∴BO⊥AC,而OB是PO在平面ABCD上的射影,由三垂线定理得OP⊥AC,∴∠BOP为二面角P—AC—B的平面角.第8页共10页…………………………
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