福建省福州文博中学2012-2013学年高二上学期期末数学理试题

2012-2013学年高二上学期期末数学理试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数31ii等于A.i21B.12iC.2iD.2i2．已知曲线C的方程是)0(08622aayaxyx，那么下列各点中不在曲线C上的是A.(0,0)B.)4,2(aaC.)3,3(aaD.),3(aa3．“直线l与抛物线C有唯一公共点”是“直线l与抛物线C相切”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分与不必要条件4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误5.设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为A.xy2B.xy2C.xy22D.xy216.下列命题中的假命题是A.0lg,xRxB.1tan,xRxC.0,2xRxD.03,xRx7．下列双曲线方程中，符合与双曲线116922yx有共同渐近线，且实轴长为18的是A.181)427(222yxB.18114422yxC.191622yxD.18114422yx8．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab=0，则a=0”的否命题；页脚③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个9.若双曲线)0(122mnnymx的一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，且离心率为2，则mn的值为A.163B.83C.316D.3810．某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶6米时,水面宽10米,抛物线的方程可能是A．2256xyB．22512xyC．2365xyD．22524xy11.直线)1(2xy与曲线142xxy的交点个数为A.1B.2C.3D.412.在ABCRt中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点F在AB上，则这个椭圆的离心率为A.36B.12C.236D.263二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．)13.命题“023,2xxRx”的否定是.14.已知抛物线xy162上的一点P到x轴的距离为12，则P到焦点F的距离等于．15.从22222597531,47531,3531,231,11中，可得到一般规律为.(用数学表达式表示)16.21,AA分别是椭圆14922yx的长轴的左、右端点，1P、2P是垂直于21AA的弦的端点，则直线与11PA22PA交点的轨迹方程为.三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知复数immmz)23()1(22，其中Rm（I）若复数z=0，求m的值；（II）若复数z为纯虚数，求m的值；（III）若复数z在复平面上所表示的点在第三象限，求m的取值范围。18.（本小满分12分）根据下列条件求圆锥曲线的标准方程.（I）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8的双曲线方程；（II）经过两点)2,3(),1,6(21PP的椭圆.19.（本小题满分12分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有012axax恒成立；命题q：关于x的方程02axx有实数根；若“qp”为真，“qp”为假，求实数a的取值范围.20.(本题满分12分)在某平原上有一块低洼地区，一条地下河从最低点A处与大海连通，最低点A处海拔高度为1米，该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN，B为所在双曲线的中心（如图）.由于温室效应，海平面逐年上升，自2000年起平均每年上升4厘米.据此推算，到2050年底该地区将有10千米2水面面积.请你推算，到2100年底该地区将有多大的水面面积？(提示：低洼水面是一个圆，圆的面积公式为2rs)21．（本题满分12分）已知)()1(1431321211)(*Nnnnnf（Ⅰ）求),4(),3(),2(),1(ffff归纳并猜想)(nf（Ⅱ）用数学归纳证明你的猜想。22.（本题满分14分）如图，已知抛物线C：xy42，过点P（1,25）的直线l与抛物线C交点A、B两点，且点P为弦AB的中点.（I）求直线l的方程；（II）若过点P斜率为-2的直线m与抛物线C交点1A、1B两点，求证:11PBPAPBPA;（III）过线段AB上任意一点1P（不含端点A、B）分别做斜率为1k、)(212kkk的直线21,ll，若1l交抛物线C于1A、1B两点，2l交抛物线C于22,BA两点，且:21211111BPAPBPAP试求21kk的值.福州市2012-2013学年第一学期高二模块质量检查数学(理科)试卷评分标准及参考答案则,132161222baa无实数解.----------11分故所求椭圆标准方程为13922yx-----------------------12分(考虑一种情况的得10分)解2:设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0)----------8分19.(本题满分12分)解:设cAAbADaAB',,,则1||||||cba,且21cbcaba.-------------------2分(Ⅰ)11,ACABBCCCabc2211111()32()6,||6222ACabcAC--------6分(Ⅱ)baACbcaDAAABABD,1111--------7分1()()1BDACabacb---------8分221122()1111112,||2,()1113,||3BDacbBDACabAC--------10分∴11116cos,6||||6BDACBDACBDAC,-------------11分故BD1与AC的夹角的余弦值为66.------------------------12分直线PA与平面PBC所成角的正弦值为30210.----------------------8分解法2:∵VP-ABC=VA-PBC.--------6分易得A到平面PBC的距离等于1572,-------------------------------7分PA与平面PBC所成角的正弦值为30210.-------------------------------------8分(Ⅲ)△PBC的重心)3,3,3(),3,3,3(haaOGhaaG,因为OG⊥平面PBC,所以PBOG,----------------10分又,2,,033),,,0(22aPAahhaPBOGhaPB即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,所以O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.---------------------------------------------------12分22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)法1:若直线l平行于x轴,不合题意.设直线l的方程为x=t(y－1)+2.5,代入抛物线方程得:y2=4t(y－1)+10.设A(x1,y2),B(x2,y2),则y1+y2=4t=2,t=0.5.且此时△0.故所求直线方程为x=0.5(y－1)+2.5,即y=2x－4.-------------------5分法2:设A(x1,y1),B(x2,y2),则22212144xyxy,∴(y1+y2)(y1－y2)=4(x1－x2),又y1+y2=2.∴kAB=2.又点P在抛物线C含焦点的区域内,过P所做的直线必与抛物线相交.故所求直线方程为y=2x－4.--------------------------------------------5分(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),PBPA=)1)(1()25)(25(2121yyxx1)(425)(2521212121yyyyxxxx.又由4242yxxy得y2－2y－8=0.∴y1+y2=2,y1y2=－8.542)(4,41621221222121222121yyyyyyxxyyxx.∴PBPA=4－25/2+25/4－8－2+1=－45/4.----------------8分同理,设A1(x3,y3),B1(x4,y4),PBPA=)1)(1()25)(25(4343yyxx1)(425)(2543434343yyyyxxxx.又由yxxy6242得y2+2y－12=0.∴y3+y4=－2,y3y4=－12.542)(4,41643243242343242343yyyyyyxxyyxx.∴PBPA=9－35/2+25/4－12+2+1=－45/4.故11PBPAPBPA.---------------------------------------10分(Ⅲ)∵P1为线段AB上的点,设P1(x0,2x0－4),A1(x1,y1),B(x2,y2),直线l1的方程为y=k1(x－x0)+(2x0－4),代入抛物线方程y2=4x得k1y2－4y+(8－4k1)x0－16=0,∴121101214(84)16yykkxyyk,设A1、P、B1在y轴上的射影分别为'''111BPA、、.111110022212012000|''||''|[(24)][(24)][(24)()(24)](42016)PAPByxxyyyxyyxxx这是一个与直线l1的斜率k1无关的量,因此,若A2、B2在y轴上的射影分别为''22BA、则21212001111|''||''|(42016)|'||'|PAPBxxPAPB.--------①又21211111BPAPBPAP,∴|P1A1||P1B1|=|P1A2||P1B2|.---------②设l1,l2的倾斜角分别为)(、,由①②结合平面三角知识可得:22sinsin,进一步可推得.故k1+k2=0------------------------------------14分