离散作业第5章

第5章5-1：1（1）设集合A={1,2,3,…,10}，问下面定义的二元运算*关于集合A是否封闭？a)x*y=max(x,y)b)x*y=min(x,y)c)x*y=GCD(x,y)d)x*y=LCM(x,y)e)x*y=质数p的个数，使得x≤p≤y。5-2：5（5）定义I+上的两个二元运算为：I,,*bababaabab试证明*对是不可分配的。5-3：2，3，6（2）设〈S,*〉是一个半群，a,S在S上定义一个二元运算□，使得对于S中的任意元素x和y，都有x□y=x*a*y证明：二元运算□是可结合的。（3）设,R使一个代数系统，*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有a*b=a+b+ab证明：0是幺元且,R是独异点。（6）如果,S是半群，且*是可交换的，称,S为可交换的半群。证明：如果S中有元素a,b，使得a*a=a和b*b=b，则（a*b）*(a*b)=a*b。5-4：2,3,4（2）设,*A使半群，e是左幺元且对每一个xA，存在xA，使得x*x=e。a)证明：对于任意的a,b,cA，如果a*b=a*c，则b=c。b)通过证明e是A中的幺元，证明,*A是群。（3）设,G是群，睡任一aG，令H={y|y*a=a*y,yG}，试证明,H是,G的子群。（4）设的子群，令，都是群，和，GKH},|{KkHhkhHK证明：，是，GHK的子群的充分必要条件是KHHK5-5：1,2,3（1）设,G是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有exx*，其中e是幺元，证明，G是一个阿贝尔群。（2）证明任何阶数分别为1,2,3,4的群都是阿贝尔群。并举一个6阶数群，它不是阿贝尔群。(3)设，G是一个群，证明：如果任意的Gba,都有，和，555444333***babababababa则，G是一个阿贝尔群。5-6：1（1）设有edcba,,,,的置换如下：edacbedcba，deacbedcbaabcdeedcba，deabcedcba试求：，，，，，1，并解方程yx，。5-7：2，3，4，5（2）设66，Z是一个群，这里6是模6加法，]5[]4[]3[]2[]1[]0[6，，，，，Z，试写出66，Z中每个子群及其相应的左陪集。（3）设，G使任一群，定义GGR为1|使得存在，GR验证R是G上的等价关系。（4）设Sn是一个对称集，G是保持某一个元素不变的置换群，求出G在Sn中的所有的左陪集。（5）设，是群，GH的子群，如果HxHxGxxA1,|证明，是，GA的一个子群。5-8：1,2,4,5,10,11,12，是由）证明：如果（Af1★，到B的同态映射，，到，是由CBg同态映射是由的，那么，fg，A★的同态映射。，到C（2）设，G是一个群，而Ga，如果f是从G到G的映射，使得对于每一个Gx，都有1)(axaxf试证明f是一个从G到G上的自同构。（4）设21ff，都是从代数系统到代数系统，B的同态。设g是从A到B的一个映射，使得对任意Aa，都有)()()(21afafag证明：如果，B是一个可交换半群，那么g是一个从到，B的同态。（5），R是实数集上的加法群，设Rxexfix,:2f是同态否？如果是，请写出同态象和同态核。（10）考察代数系统，I，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？（a）Ryx，当且仅当)00()00(yxyx。（b）Ryx，当且仅当10yx。（c）Ryx，当且仅当)00()0(yxyx。（d）Ryx，当且仅当yx。（11）设f和g都是群，1G★到群，2G的同态，证明，G★是，1G★的一个子群，其中)()(|1xgxfGxxC且（12）设f为从群，1G到群,2G的同态映射，则f为入射当且仅当}{)(efKer。其中，e是1G中的幺元。