离散型随机变量的方差(学案)

日照实验高中2007级导学案——概率2．3．2离散型随机变量的方差学习目标：1：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。2：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。学习重点、难点：离散型随机变量的方差、标准差奎屯王新敞新疆；比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题奎屯王新敞新疆自主学习：一、知识再现数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x，2x，…，nx中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(xx，22)(xx，…，2)(xxn，那么[12nS21)(xx＋22)(xx＋…＋])(2xxn叫做这组数据的方差奎屯王新敞新疆二、新课探究：1.方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x，2x，…，nx，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，…，那么,D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋nnpEx2)(＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量ξ的期望．2.标准差:D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作．3.方差的性质：（1）DabaD2)(；（2）22)(EED；（3）若ξ～B(n，p)，则Dnp(1-p)奎屯王新敞新疆4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛奎屯王新敞新疆教师备课学习笔记三、例题解析：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X的分布列为ξ123456P161616161616从而1111111234563.5666666EX;2222221111(13.5)(23.5)(33.5)(43.5)666611(53.5)(63.5)2.9266DX1.71XDX.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX1=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400,DX1=(1200-1400)2×0.4+(1400-1400)2×0.3+(1600-1400)2×0.2+(1800-1400)2×0.1=40000;EX2＝1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400,DX2=(1000-1400)2×0.4+(1400-1400)×0.3+(1800-1400)2×0.2+(2200-1400)2×0.l=160000.因为EX1=EX2,DX1DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为ξ12…nPn1n1…n1教师备课学习笔记求Dξ奎屯王新敞新疆解：（略）12nE,2n-1D12奎屯王新敞新疆例4．已知离散型随机变量1的概率分布为11234567P71717171717171离散型随机变量2的概率分布为23．73．83．944．14．24．3P71717171717171求这两个随机变量期望、均方差与标准差奎屯王新敞新疆解：47177127111E；471)47(71)42(71)41(2221D；211D奎屯王新敞新疆4713.4718.3717.32E；2D=0.04,2.022D.点评：本题中的1和2都以相等的概率取各个不同的值，但1的取值较为分散，2的取值较为集中．421EE，41D，04.02D，方差比较清楚地指出了2比1取值更集中．1＝2，2=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差奎屯王新敞新疆例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24奎屯王新敞新疆用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平奎屯王新敞新疆解：180.290.6100.29E221(89)0.2(99)0.6D+（10-9）4.02.02；教师备课学习笔记同理有8.0,922DE奎屯王新敞新疆由上可知，21EE，12DD奎屯王新敞新疆所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1和2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21EE=9，这时就通过1D=0.4和2D=0.8来比较1和2的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况奎屯王新敞新疆四、课堂巩固：1.已知~,,8,1.6BnpED，则,np的值分别是（）A．1000.08和；B．200.4和；C．100.2和；D．100.8和奎屯王新敞新疆2.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．3.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4奎屯王新敞新疆4.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？五、归纳反思六、合作探究：1.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况123pa0.10.6123p0.3b0.3教师备课学习笔记