离散数学试卷及答案一

离散数学试卷（一）第1页共7页一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条()A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是()A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是()A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G={1,-1,i,-i},·是群，下列是G的子群是()A.{1},·B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有()A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是()A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z，Z是整数集，定义为xxy=xy,x,y∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是()A.R∪IAB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩IA9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取()A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式子正确的是()A.∈B.C.{}D.{}∈11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):xy.下列公式在R下为真的是()A.(x)(y)(z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.(x)A(f(a,x),a)C.(x)(y)（A(f(x,y),x))离散数学试卷（一）第2页共7页D.(x)(y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(x)(A(x)→B)等价于()A.(x)A(x)→BB.(x)A(x)→BC.A(x)→BD.(x)A(x)→(x)B13.谓词公式(x)(P(x,y))→(z)Q(x,z)∧(y)R(x,y)中变元x()A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为()A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是()A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为__0____，称为树根，其余结点的入度均为__1____。17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的关系矩阵MR中m24=___1___,m34=___0___。18.设〈s,*〉是群，则那么s中除__幺元____外，不可能有别的幂等元；若〈s,*〉有零元，则|s|=___1___。19.设A为集合，P(A)为A的幂集，则〈P(A)，〉是格，若x,y∈P(A),则x,y最大下界是______，最小上界是______。20.设函数f:X→Y,如果对X中的任意两个不同的x1和x2，它们的象y1和y2也不同，我们说f是___入射___函数，如果ranf=Y，则称f是___满射___函数。21.设R为非空集合A上的等价关系，其等价类记为〔x〕R。x,y∈A，若〈x,y〉∈R，则〔x〕R与〔y〕R的关系是______，而若〈x,y〉R，则〔x〕R∩〔y〕R=______。22.使公式(x)(y)(A(x)∧B(y))(x)A(x)∧(y)B(y)成立的条件是______不含有y，______不含有x。23.设M(x):x是人，D(s):x是要死的，则命题“所有的人都是要死的”可符号化为(x)______,其中量词(x)的辖域是______。24.若H1∧H2∧…∧Hn是______，则称H1,H2,…Hn是相容的，若H1∧H2∧…∧Hn是______，则称H1,H2,…Hn是不相容的。25.判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为，然后再看它是否具有唯一的。三、计算题(共30分)26.(4分)设有向图G=(V,E)如下图所示，试用邻接矩阵方法求长度为2的路的总数和回路总数。离散数学试卷（一）第3页共7页27.(5)设A={a,b},P(A)是A的幂集，是对称差运算，可以验证P(A)，是群。设n是正整数，求({a}-1{b}{a})n{a}-n{b}n{a}n28.(6分)设A={1,2,3,4,5},A上偏序关系R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA;(1)作出偏序关系R的哈斯图(2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。29.(6分)求┐(P→Q)(P→┐Q)的主合取范式并给出所有使命题为真的赋值。30.(5分)设带权无向图G如下，求G的最小生成树T及T的权总和，要求写出解的过程。31.(4分)求公式┐((x)F(x,y)→(y)G(x,y))∨(x)H(x)的前束范式。四、证明题(共20分)32.(6分)设T是非平凡的无向树，T中度数最大的顶点有2个，它们的度数为k(k≥2),证明T中至少有2k-2片树叶。33.(8分)设A是非空集合，F是所有从A到A的双射函数的集合，是函数复合运算。证明：〈F,〉是群。34.(6分)在个体域D={a1,a2,…，an}中证明等价式：(x)(A(x)→B(x))(x)A(x)→(x)B(x)五、应用题(共15分)35.(9分)如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。36.(6分)一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20。问能否把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么?离散数学试卷（一）第4页共7页参考答案一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)1.B2.D3.A4.A5.D6.D7.D8.C9.D10.B11.A12.A13.C14.B15.C二、填空题16.0117.1018.单位元119.x∩yx∪y20.入射21.［x］R=［y］R22.A(x)B(y)23.(M(x)→D(x))M(x)→D(x)24.可满足式永假式(或矛盾式)25.陈述句真值三、计算题26.M=1100101010110011M2=2110211121211011Mijji2141418,Miji2146G中长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6。27.当n是偶数时，x∈P(A),xn=当n是奇数时，x∈P(A),xn=x于是：当n是偶数，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n=(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=当n是奇数时，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n=｛a｝-1｛b｝｛a｝(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=｛a｝-1｛b｝｛a｝｛a｝-1｛b｝｛a｝=28.(1)偏序关系R的哈斯图为离散数学试卷（一）第5页共7页(2)B的最大元：无，最小元：无；极大元：2，5，极小元：1，3下界：4，下确界4；上界：无，上确界：无29.原式(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))(P∧Q)∨(P∧┐Q)P∧(Q∨┐Q)P∨(Q∧┐Q)(P∨Q)∧(P∨┐Q)命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=130.令e1=(v1,v3),e2=(v4,v6)e3=(v2,v5),e4=(v3,v6)e5=(v2,v3),e6=(v1,v2)e7=(v1,v4),e8=(v4,v3)e9=(v3,v5),e10=(v5,v6)令ai为ei上的权，则a1a2a3a4a5=a6=a7=a8a9=a10取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，T的总权和=1+2+3+4+5=1531.原式┐(x1F(x1,y)→y1G(x,y1))∨x2H(x2)(换名)┐x1y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨x2H(x2)x1y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨x2H(x2)x1y1x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2)四、证明题32.设T中有x片树叶，y个分支点。于是T中有x+y个顶点，有x+y-1条边，由握手定理知T中所有顶点的度数之的dviixy()1=2(x+y-1)。又树叶的度为1，任一分支点的度大于等于2且度最大的顶点必是分支点，于是离散数学试卷（一）第6页共7页dviixy()1≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4从而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4x≥2k-233.从定义出发证明：由于集合A是非空的，故显然从A到A的双射函数总是存在的，如A上恒等函数，因此F非空(1)f,g∈F,因为f和g都是A到A的双射函数，故fg也是A到A的双射函数，从而集合F关于运算是封闭的。(2)f,g,h∈F,由函数复合运算的结合律有f(gh)=(fg)h故运算是可结合的。(3)A上的恒等函数IA也是A到A的双射函数即IA∈F,且f∈F有IAf=fIA=f,故IA是〈F，〉中的幺元(4)f∈F,因为f是双射函数，故其逆函数是存在的，也是A到A的双射函数，且有ff-1=f-1f=IA,因此f-1是f的逆元由此上知〈F，〉是群34.证明(x)(A(x)→B(x))x(┐A(x)∨B(x))(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨…∨(┐A(an)∨B(an)))(┐A(a1)∨A(a2)∨…∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨…∨(B(an))┐(A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨…∨(B(an))┐(x)A(x)∨(x)B(x)(x)A(x)→(x)B(x)五、应用题35.令p：他是计算机系本科生q：他是计算机系研究生r：他学过DELPHI语言s:他学过C++语言t:他会编程序前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t结论：p→t证①pP(附加前提)②p∨qT①I③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入)④r∧sT②③I⑤rT④I⑥r∨sT⑤I⑦(r∨s)→tP(前提引入)⑧tT⑤⑥I36.可以